Номер 543, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 543, страница 145.

543. На рисунке 324 точка O – центр окружности. Найдите:

1) угол O, если $\angle A = 42^{\circ}$;

2) угол B, если $\angle O = 76^{\circ}$.

Рис. 324

Рассмотрим треугольник $AOB$. Так как точка $O$ является центром окружности, а точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются радиусами этой окружности.

Следовательно, $OA = OB$. Это означает, что треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть $\angle OAB = \angle OBA$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$.

1) угол O, если ∠A = 42°
По условию дано, что $\angle A = \angle OAB = 42^\circ$.
Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, углы при основании равны: $\angle B = \angle OBA = \angle OAB = 42^\circ$.
Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$. Найдем угол $O$ ($\angle AOB$):
$\angle O = 180^\circ - (\angle A + \angle B)$
$\angle O = 180^\circ - (42^\circ + 42^\circ)$
$\angle O = 180^\circ - 84^\circ$
$\angle O = 96^\circ$.
Ответ: $\angle O = 96^\circ$.

2) угол B, если ∠O = 76°
По условию дано, что $\angle O = \angle AOB = 76^\circ$.
Так как треугольник $AOB$ равнобедренный, углы при основании $A$ и $B$ равны: $\angle A = \angle B$.
Сумма углов треугольника $AOB$ равна $180^\circ$. Найдем сумму углов $A$ и $B$:
$\angle A + \angle B = 180^\circ - \angle O$
$\angle A + \angle B = 180^\circ - 76^\circ$
$\angle A + \angle B = 104^\circ$.
Поскольку $\angle A = \angle B$, то каждый из этих углов равен половине их суммы:
$\angle B = \frac{104^\circ}{2} = 52^\circ$.
Ответ: $\angle B = 52^\circ$.

543. Начертите разносторонний треугольник.

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3) Впишите в данный треугольник окружность.