Номер 540, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 540, страница 145.

540. Начертите окружность, диаметр которой равен $7 \text{ см}$. Отметьте на окружности точку $A$. Найдите на окружности точки, удалённые от точки $A$ на $4 \text{ см}$.

Начертите окружность, диаметр которой равен 7 см.

Чтобы начертить окружность, сначала определим её радиус. Радиус $r$ равен половине диаметра $d$:
$r = \frac{d}{2} = \frac{7 \text{ см}}{2} = 3.5 \text{ см}$.
Далее, с помощью циркуля и линейки, выполняем построение:

1. Выбираем точку O — центр окружности.
2. Устанавливаем раствор циркуля на 3,5 см.
3. Ставим ножку циркуля в точку O и проводим окружность.

Отметьте на окружности точку А.

На построенной окружности выбираем любую точку и обозначаем её буквой А.

Найдите на окружности точки, удалённые от точки А на 4 см.

Искомые точки должны одновременно принадлежать исходной окружности и находиться на расстоянии 4 см от точки A.
Геометрическое место точек, находящихся на расстоянии 4 см от точки A, — это окружность с центром в точке A и радиусом $R = 4$ см.
Таким образом, искомые точки являются точками пересечения двух окружностей:

• Исходной: с центром в O и радиусом $r = 3.5$ см.
• Вспомогательной: с центром в A и радиусом $R = 4$ см.

Для их нахождения выполним следующие шаги построения:

1. Устанавливаем раствор циркуля на 4 см.
2. Ставим ножку циркуля в точку A и проводим дугу, которая пересекает исходную окружность.
3. Полученные две точки пересечения (назовем их B и C) и являются искомыми.

Существует ровно две такие точки, так как расстояние между центрами окружностей O и A равно радиусу исходной окружности $OA = r = 3.5$ см, и для радиусов $r=3.5$ см и $R=4$ см выполняется неравенство, обеспечивающее пересечение в двух точках:
$|R-r| < OA < R+r$
$|4 - 3.5| < 3.5 < 4 + 3.5$
$0.5 \text{ см} < 3.5 \text{ см} < 7.5 \text{ см}$.
Неравенство верно, следовательно, окружности пересекаются в двух точках.

Ответ: Искомые точки — это точки пересечения исходной окружности и вспомогательной окружности с центром в точке А и радиусом 4 см. Таких точек две.

540. Начертите разносторонний остроугольный треугольник.

1) Пользуясь линейкой со шкалой и угольником, найдите центр окружности, описанной около данного треугольника.

2) Опишите около треугольника окружность.

Выполните задания 1 и 2 для разносторонних прямоугольного и тупоугольного треугольников.