Номер 544, страница 145 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 544, страница 145.

544. Хорды $AB$ и $CD$ окружности с центром $O$ равны. Докажите, что $\angle AOB = \angle COD$.

Для доказательства утверждения рассмотрим треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $, образованные хордами и радиусами, проведенными из центра окружности $O$ к концам этих хорд.

1. Отрезки $OA$, $OB$, $OC$ и $OD$ являются радиусами одной и той же окружности. Следовательно, они равны между собой: $OA = OB = OC = OD$.

2. По условию задачи дано, что хорды $AB$ и $CD$ равны: $AB = CD$.

Теперь сравним треугольники $ \triangle AOB $ и $ \triangle COD $. Мы установили, что у них равны три соответствующие стороны:

$OA = OC$ (как радиусы одной окружности),
$OB = OD$ (также как радиусы),
$AB = CD$ (по условию задачи).

Следовательно, треугольник $ \triangle AOB $ равен треугольнику $ \triangle COD $ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов, включая углы. В $ \triangle AOB $ угол $ \angle AOB $ лежит напротив стороны $AB$. В $ \triangle COD $ угол $ \angle COD $ лежит напротив стороны $CD$. Так как стороны $AB$ и $CD$ равны, то и противолежащие им углы также равны.

Таким образом, $ \angle AOB = \angle COD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $ \angle AOB = \angle COD $ доказано на основании признака равенства треугольников по трем сторонам.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

544. Начертите равнобедренный треугольник. Выполните задания 1, 2 и 3 из задания 543.