Номер 551, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 551, страница 146.

551. Отрезки $AB$ и $BC$ – соответственно диаметр и хорда окружности с центром $O$, $\angle ABC = 60^\circ$, $AB = 12$ см. Найдите хорду $BC$.

Рассмотрим треугольник $ABC$, вершины которого лежат на окружности. По условию, отрезок $AB$ является диаметром этой окружности.

Угол $\angle ACB$ является вписанным углом, который опирается на диаметр $AB$. Согласно свойству вписанного угла, опирающегося на диаметр, его величина равна $90^\circ$. Таким образом, треугольник $ABC$ является прямоугольным с прямым углом $C$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ нам известны:

• Гипотенуза $AB = 12$ см.
• Острый угол $\angle ABC = 60^\circ$.

Хорда $BC$ является катетом, прилежащим к углу $\angle ABC$. Для нахождения длины этого катета можно использовать определение косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике:

$\cos(\angle ABC) = \frac{BC}{AB}$

Подставим известные значения в формулу:

$\cos(60^\circ) = \frac{BC}{12}$

Зная, что значение косинуса $60^\circ$ равно $\frac{1}{2}$, получаем уравнение:

$\frac{1}{2} = \frac{BC}{12}$

Отсюда находим длину $BC$:

$BC = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6$ см.

Ответ: 6 см.

551. Через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, провели прямую, перпендикулярную стороне $AC$ и пересекающую сторону $AB$ в точке $M$. Докажите, что $AM=MC$.