Номер 553, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 553, страница 146.

553. Отрезок MK – диаметр окружности с центром O. На окружности отметили точку C так, что $MC = CK$. Докажите, что $\angle MCO = \angle KCO$.

Дано:
Окружность с центром в точке $O$.
$MK$ — диаметр окружности.
$C$ — точка на окружности.
$MC = CK$.

Доказать:
$\angle MCO = \angle KCO$.

Доказательство:

Для доказательства равенства углов $\angle MCO$ и $\angle KCO$ рассмотрим треугольники $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$.

1. Стороны $MO$ и $KO$ равны, так как точки $M$ и $K$ лежат на окружности, а точка $O$ является её центром. Следовательно, $MO$ и $KO$ — радиусы одной и той же окружности. Таким образом, $MO = KO$.

2. Стороны $MC$ и $CK$ равны по условию задачи: $MC = CK$.

3. Сторона $OC$ является общей для обоих треугольников $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$.

Поскольку три стороны одного треугольника ($\triangle MCO$) соответственно равны трём сторонам другого треугольника ($\triangle KCO$), эти треугольники равны по третьему признаку равенства треугольников (по трём сторонам).

Из равенства треугольников $\triangle MCO = \triangle KCO$ следует равенство их соответствующих углов. Угол $\angle MCO$ лежит напротив стороны $MO$ в треугольнике $\triangle MCO$. Угол $\angle KCO$ лежит напротив стороны $KO$ в треугольнике $\triangle KCO$. Так как стороны $MO$ и $KO$ равны, то и противолежащие им углы $\angle MCO$ и $\angle KCO$ также равны.

Следовательно, $\angle MCO = \angle KCO$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\angle MCO = \angle KCO$ доказано путём доказательства равенства треугольников $\triangle MCO$ и $\triangle KCO$ по трём сторонам.

553. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон в точках $M$, $K$ и $E$, $AM = 13$ см, $BK = 3$ см, периметр треугольника $ABC$ равен 46 см. Найдите длину стороны $AC$.