Номер 555, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 555, страница 146.

555. Через концы диаметра $AB$ окружности с центром $O$ проведены хорды $AC$ и $BD$ такие, что $AC \parallel BD$. Докажите, что $AC = BD$.

Рассмотрим треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $.

Поскольку $ AB $ - это диаметр окружности с центром в точке $ O $, отрезки $ OA $ и $ OB $ являются радиусами. Точки $ C $ и $ D $ также лежат на окружности, следовательно, $ OC $ и $ OD $ - тоже радиусы. Таким образом, $ OA = OB = OC = OD = R $, где $ R $ - радиус окружности.

В треугольнике $ \triangle AOC $ стороны $ OA $ и $ OC $ равны как радиусы, поэтому $ \triangle AOC $ - равнобедренный. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит $ \angle OAC = \angle OCA $.

Аналогично, в треугольнике $ \triangle BOD $ стороны $ OB $ и $ OD $ равны как радиусы, поэтому $ \triangle BOD $ - равнобедренный. Следовательно, углы при его основании равны: $ \angle OBD = \angle ODB $.

По условию задачи, хорды $ AC $ и $ BD $ параллельны ($ AC \parallel BD $). Диаметр $ AB $ является секущей для этих параллельных прямых. При пересечении двух параллельных прямых секущей накрест лежащие углы равны. Поэтому $ \angle CAB = \angle ABD $.

Заметим, что $ \angle CAB $ - это тот же угол, что и $ \angle OAC $, а $ \angle ABD $ - тот же угол, что и $ \angle OBD $. Из этого следует, что $ \angle OAC = \angle OBD $.

Объединяя полученные равенства углов, имеем: $ \angle OAC = \angle OCA = \angle OBD = \angle ODB $.

Теперь найдем величины углов при вершине $ O $ в наших треугольниках. Сумма углов в любом треугольнике составляет $ 180^\circ $.

Для $ \triangle AOC $: $ \angle AOC = 180^\circ - (\angle OAC + \angle OCA) = 180^\circ - 2 \cdot \angle OAC $.

Для $ \triangle BOD $: $ \angle BOD = 180^\circ - (\angle OBD + \angle ODB) = 180^\circ - 2 \cdot \angle OBD $.

Так как мы установили, что $ \angle OAC = \angle OBD $, то из последних двух выражений следует, что $ \angle AOC = \angle BOD $.

Теперь мы можем сравнить треугольники $ \triangle AOC $ и $ \triangle BOD $. Они равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними):

1. $ OA = OB $ (как радиусы одной окружности);
2. $ OC = OD $ (как радиусы одной окружности);
3. $ \angle AOC = \angle BOD $ (как доказано выше).

Из равенства треугольников ($ \triangle AOC \cong \triangle BOD $) следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $ AC $ треугольника $ \triangle AOC $ равна соответствующей стороне $ BD $ треугольника $ \triangle BOD $.

Таким образом, $ AC = BD $, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AC=BD$ доказано.

555. Докажите, что если центр окружности, вписанной в треугольник, принадлежит его медиане, то этот треугольник равнобедренный.