Номер 562, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 562, страница 147.

562. Найдите геометрическое место вершин равнобедренных треугольников, имеющих общее основание.

Пусть дан отрезок $AB$, который является общим основанием для всех рассматриваемых равнобедренных треугольников. Пусть $C$ — третья вершина одного из таких треугольников.

По определению, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AB$, если его боковые стороны, исходящие из вершины $C$, равны. Это означает, что расстояние от точки $C$ до точки $A$ равно расстоянию от точки $C$ до точки $B$, то есть $AC = BC$.

Таким образом, задача сводится к нахождению геометрического места точек $C$, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$.

Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от двух данных точек, есть прямая, перпендикулярная отрезку, соединяющему эти точки, и проходящая через его середину. Такая прямая называется серединным перпендикуляром.

Докажем, что любая точка на серединном перпендикуляре к отрезку $AB$ является вершиной равнобедренного треугольника $ABC$. Пусть $l$ — серединный перпендикуляр к $AB$, и $M$ — середина $AB$. Для любой точки $C$ на $l$ рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMC$. У них катет $CM$ — общий, а катеты $AM$ и $BM$ равны, так как $M$ — середина $AB$. Следовательно, треугольники равны по двум катетам, а значит, равны и их гипотенузы: $AC = BC$.

Докажем обратное: любая вершина $C$ равнобедренного треугольника с основанием $AB$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$. Если $AC=BC$, то треугольник $ABC$ равнобедренный. Медиана $CM$, проведенная к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является и его высотой. Значит, прямая $CM$ проходит через середину $M$ отрезка $AB$ и перпендикулярна ему, то есть является серединным перпендикуляром.

Следует учесть, что три вершины любого треугольника не могут лежать на одной прямой. Если точка $C$ будет лежать на прямой $AB$, треугольник $ABC$ вырождается в отрезок. Единственная точка на серединном перпендикуляре, которая лежит на прямой $AB$ — это середина отрезка $AB$, точка $M$. Следовательно, эту точку необходимо исключить из искомого геометрического места.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это серединный перпендикуляр к общему основанию, за исключением точки, являющейся серединой этого основания.

562. В треугольник $ABC$ вписана окружность, касающаяся стороны $AB$ в точке $M$, $BC = a$. Докажите, что $AM = p - a$, где $p$ – полупериметр треугольника $ABC$.