Номер 563, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 563, страница 147.

563. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух параллельных прямых.

Пусть даны две параллельные прямые $a$ и $b$.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, удовлетворяющих заданному свойству. В данном случае, свойство точки $M$ заключается в том, что она равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Обозначим расстояние от точки $M$ до прямой $a$ как $\rho(M, a)$, а до прямой $b$ как $\rho(M, b)$. Таким образом, искомое ГМТ — это множество всех точек $M$, для которых выполняется условие: $\rho(M, a) = \rho(M, b)$.

1. Докажем, что любая точка, равноудаленная от прямых $a$ и $b$, принадлежит прямой, параллельной данным и проходящей посередине между ними.

Рассмотрим произвольную точку $M$, принадлежащую искомому ГМТ. Проведём через точку $M$ прямую, перпендикулярную прямым $a$ и $b$ (это возможно, так как $a \parallel b$). Пусть эта прямая пересекает прямую $a$ в точке $A$ и прямую $b$ в точке $B$.

Тогда по определению расстояния от точки до прямой имеем: $\rho(M, a) = MA$ и $\rho(M, b) = MB$.Поскольку точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$, то $MA = MB$.Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$. Отрезок $AB$ — это общий перпендикуляр к прямым $a$ и $b$. Множество всех таких точек (середин всех общих перпендикуляров) образует прямую, параллельную $a$ и $b$.

2. Докажем, что любая точка прямой, параллельной данным и проходящей посередине между ними, равноудалена от данных прямых.

Пусть прямая $c$ параллельна прямым $a$ и $b$ и проходит посередине между ними. Пусть расстояние между прямыми $a$ и $b$ равно $d$. Тогда расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $a$ по построению равно $d/2$, и расстояние от любой точки прямой $c$ до прямой $b$ также равно $d/2$.Следовательно, любая точка прямой $c$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Объединяя оба утверждения, мы заключаем, что искомое ГМТ — это прямая, параллельная данным прямым и расположенная на одинаковом расстоянии от них (посередине).

Ответ: Геометрическим местом точек, равноудалённых от двух параллельных прямых, является прямая, параллельная этим прямым и проходящая посередине между ними.

563. К окружности, вписанной в равносторонний треугольник со стороной $a$, провели касательную, пересекающую две его стороны. Найдите периметр треугольника, который эта касательная отсекает от данного.