Номер 566, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 566, страница 147.

566. Даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек X, таких, что $AX > BX$.

Для нахождения геометрического места точек $X$, удовлетворяющих условию $AX > BX$, рассмотрим сначала граничный случай, когда расстояния равны: $AX = BX$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек $A$ и $B$, есть серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Обозначим эту прямую как $l$. Эта прямая делит всю плоскость на две открытые полуплоскости. В одной из них лежит точка $A$, в другой — точка $B$.

Искомое множество точек $X$, для которых $AX > BX$, — это одна из этих полуплоскостей. Чтобы определить, какая именно, можно применить метод координат.

Введем систему координат так, чтобы ось $Ox$ проходила через точки $A$ и $B$, а начало координат $O$ было серединой отрезка $AB$. Пусть расстояние $AB = 2c$, где $c > 0$. Тогда точки будут иметь координаты $A(-c, 0)$ и $B(c, 0)$. Пусть точка $X$ имеет произвольные координаты $(x, y)$.

Расстояние от точки $X(x, y)$ до точки $A(-c, 0)$ равно $AX = \sqrt{(x - (-c))^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x + c)^2 + y^2}$.
Расстояние от точки $X(x, y)$ до точки $B(c, 0)$ равно $BX = \sqrt{(x - c)^2 + (y - 0)^2} = \sqrt{(x - c)^2 + y^2}$.

По условию задачи $AX > BX$. Так как расстояния являются неотрицательными величинами, это неравенство равносильно неравенству $AX^2 > BX^2$.
$(x + c)^2 + y^2 > (x - c)^2 + y^2$

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:
$x^2 + 2cx + c^2 + y^2 > x^2 - 2cx + c^2 + y^2$

Вычтем из обеих частей неравенства одинаковые слагаемые $x^2$, $c^2$ и $y^2$:
$2cx > -2cx$

Перенесем член из правой части в левую:
$4cx > 0$

Поскольку точки $A$ и $B$ различны, $c > 0$. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $4c$, не меняя знака неравенства:
$x > 0$

В выбранной нами системе координат серединным перпендикуляром к отрезку $AB$ является ось $Oy$, то есть прямая $x=0$. Неравенство $x > 0$ задает открытую полуплоскость, расположенную справа от этой прямой. Точка $B(c, 0)$ с $c > 0$ принадлежит этой полуплоскости, а точка $A(-c, 0)$ — нет.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это открытая полуплоскость, границей которой служит серединный перпендикуляр к отрезку $AB$, и в которой лежит точка $B$.

Ответ: Искомое геометрическое место точек — это открытая полуплоскость, содержащая точку $B$ и ограниченная серединным перпендикуляром к отрезку $AB$.

566. Каждый из углов $BAC$ и $ACB$ треугольника $ABC$ разделили на три равные части (рис. 308). Докажите, что $\angle AMN = \angle CMN$.

Рис. 308