Номер 1, страница 150 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 1, страница 150.

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?

Данный вопрос относится к одному из фундаментальных свойств окружности. Сформулируем и докажем соответствующую теорему.

Теорема: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Проведем в ней хорду $AB$ и диаметр $CD$, такой что $CD \perp AB$. Обозначим точку их пересечения как $M$. Нам необходимо доказать, что точка $M$ делит хорду $AB$ пополам, то есть $AM = MB$.

Рассмотрим два возможных случая.

Случай 1: Хорда $AB$ не является диаметром.

Соединим центр окружности $O$ с концами хорды — точками $A$ и $B$. Получим треугольник $\triangle OAB$.

• Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами окружности, следовательно, они равны: $OA = OB = R$.
• Это означает, что треугольник $\triangle OAB$ — равнобедренный с основанием $AB$.
• Отрезок $OM$ является частью диаметра $CD$. По условию задачи, $CD \perp AB$, значит, и отрезок $OM$ перпендикулярен $AB$. Таким образом, $OM$ является высотой в равнобедренном треугольнике $\triangle OAB$, проведенной к основанию.
• По свойству равнобедренного треугольника, высота, проведенная к основанию, является также медианой и биссектрисой.
• Так как $OM$ — медиана, она делит сторону, к которой проведена (основание $AB$), на две равные части.

Следовательно, $AM = MB$.

Случай 2: Хорда $AB$ является диаметром.

Если хорда $AB$ сама является диаметром, то она проходит через центр $O$. Любой другой диаметр $CD$, перпендикулярный $AB$, также пройдет через центр $O$. Точка их пересечения $M$ совпадет с центром $O$. Любой диаметр делится центром окружности пополам, так как каждая его половина ($AO$ и $OB$) равна радиусу. Таким образом, и в этом случае $AO = OB$, то есть хорда-диаметр делится пополам.

Мы доказали, что в обоих случаях диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

Ответ: Диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам.

1. Как делит хорду диаметр, перпендикулярный ей?