Номер 569, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 569, страница 147.

569. Из точки O через точки A, B и C проведены лучи $OA$, $OB$ и $OC$. Известно, что $OA = OB = OC$, $\angle AOB = 80^{\circ}$, $\angle BOC = 110^{\circ}$, $\angle AOC = 170^{\circ}$. Найдите углы треугольника $ABC$.

По условию задачи дано, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точки $A$, $B$ и $C$ лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом, равным $OA$. Следовательно, треугольники $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle AOC$ являются равнобедренными, так как их боковые стороны ($OA$ и $OB$; $OB$ и $OC$; $OA$ и $OC$) равны как радиусы окружности.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^{\circ}$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Используем эти свойства для нахождения углов при основаниях треугольников $\triangle AOB$, $\triangle BOC$ и $\triangle AOC$.

1. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOB$ с основанием $AB$ угол при вершине $\angle AOB = 80^{\circ}$. Углы при основании равны:

$\angle OAB = \angle OBA = \frac{180^{\circ} - \angle AOB}{2} = \frac{180^{\circ} - 80^{\circ}}{2} = \frac{100^{\circ}}{2} = 50^{\circ}$.

2. В равнобедренном треугольнике $\triangle BOC$ с основанием $BC$ угол при вершине $\angle BOC = 110^{\circ}$. Углы при основании равны:

$\angle OBC = \angle OCB = \frac{180^{\circ} - \angle BOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 110^{\circ}}{2} = \frac{70^{\circ}}{2} = 35^{\circ}$.

3. В равнобедренном треугольнике $\triangle AOC$ с основанием $AC$ угол при вершине $\angle AOC = 170^{\circ}$. Углы при основании равны:

$\angle OAC = \angle OCA = \frac{180^{\circ} - \angle AOC}{2} = \frac{180^{\circ} - 170^{\circ}}{2} = \frac{10^{\circ}}{2} = 5^{\circ}$.

Так как сумма углов вокруг точки $O$ равна $\angle AOB + \angle BOC + \angle AOC = 80^{\circ} + 110^{\circ} + 170^{\circ} = 360^{\circ}$, точка $O$ находится внутри треугольника $ABC$. Поэтому углы треугольника $ABC$ можно найти как суммы вычисленных углов.

Угол $\angle BAC$ треугольника $ABC$ состоит из углов $\angle OAB$ и $\angle OAC$:

$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 50^{\circ} + 5^{\circ} = 55^{\circ}$.

Угол $\angle ABC$ треугольника $ABC$ состоит из углов $\angle OBA$ и $\angle OBC$:

$\angle ABC = \angle OBA + \angle OBC = 50^{\circ} + 35^{\circ} = 85^{\circ}$.

Угол $\angle ACB$ треугольника $ABC$ состоит из углов $\angle OCB$ и $\angle OCA$:

$\angle ACB = \angle OCB + \angle OCA = 35^{\circ} + 5^{\circ} = 40^{\circ}$.

Проверим правильность вычислений, сложив углы треугольника $ABC$:

$\angle BAC + \angle ABC + \angle ACB = 55^{\circ} + 85^{\circ} + 40^{\circ} = 180^{\circ}$.

Сумма углов равна $180^{\circ}$, что подтверждает верность решения.

Ответ: углы треугольника $ABC$ равны $55^{\circ}$, $85^{\circ}$ и $40^{\circ}$.

569. Биссектриса угла $\angle ABC$ образует с его стороной угол, равный углу, смежному с углом $\angle ABC$. Найдите угол $\angle ABC$.