Номер 564, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 564, страница 147.

564. Найдите ГМТ, удалённых от данной прямой на заданное расстояние.

564.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, которые обладают одним и тем же свойством. В данной задаче требуется найти множество всех точек плоскости, которые находятся на одинаковом заданном расстоянии от некоторой данной прямой.

Пусть на плоскости дана прямая a и задано расстояние d (причем $d > 0$). Мы ищем множество всех точек M, таких, что расстояние от точки M до прямой a равно d.

Напомним, что расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную прямую.

Для нахождения ГМТ необходимо доказать два утверждения:

1. Все точки искомой фигуры удовлетворяют заданному условию.
2. Никакие другие точки, не принадлежащие этой фигуре, не удовлетворяют этому условию.

Доказательство:

1. Рассмотрим две прямые, b и c, параллельные данной прямой a и расположенные по разные стороны от нее на расстоянии d.

Возьмем произвольную точку M на прямой b. По определению расстояния между параллельными прямыми, длина перпендикуляра, опущенного из любой точки одной прямой на другую, постоянна и равна d. Следовательно, точка M удалена от прямой a на расстояние d.

Аналогично, любая точка N, взятая на прямой c, также будет удалена от прямой a на расстояние d.

Таким образом, все точки, принадлежащие прямым b и c, удовлетворяют условию задачи.

2. Теперь докажем обратное: любая точка, удаленная от прямой a на расстояние d, принадлежит либо прямой b, либо прямой c.

Пусть точка P — это некоторая точка, расстояние от которой до прямой a равно d. Опустим из точки P перпендикуляр PH на прямую a, где H — точка на прямой a. По условию, длина этого перпендикуляра $PH = d$.

Через точку P можно провести единственную прямую, параллельную прямой a. Расстояние между этой прямой и прямой a будет равно длине их общего перпендикуляра, то есть d.

Так как точка P может находиться с любой из двух сторон от прямой a, она должна лежать на одной из двух прямых (b или c), параллельных a и удаленных от нее на расстояние d.

Из двух частей доказательства следует, что искомое ГМТ состоит из двух прямых.

Ответ: Геометрическое место точек, удаленных от данной прямой на заданное расстояние, представляет собой пару параллельных прямых, расположенных по разные стороны от данной прямой на этом расстоянии.

564. В равнобедренный треугольник ABC ($AB = BC$) с основанием 10 см вписана окружность. К этой окружности проведены три касательные, отсекающие от данного треугольника треугольники ADK, BEF и CMN. Сумма периметров этих треугольников равна 42 см. Чему равна боковая сторона данного треугольника?