Номер 561, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 561, страница 146.

561. Найдите ГМТ, равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых.

Пусть даны две пересекающиеся прямые, обозначим их $a$ и $b$. Точку их пересечения обозначим $O$. Искомое геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек плоскости, расстояние от которых до прямой $a$ равно расстоянию до прямой $b$.

Расстояние от точки до прямой есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Пусть $M$ — произвольная точка, принадлежащая искомому ГМТ. Опустим из точки $M$ перпендикуляры $MP$ на прямую $a$ (точка $P$ лежит на $a$) и $MQ$ на прямую $b$ (точка $Q$ лежит на $b$). Согласно условию, точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$, что означает $MP = MQ$.

Сначала докажем, что любая точка искомого ГМТ лежит на биссектрисе одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Если точка $M$ совпадает с точкой пересечения $O$, то расстояние от нее до обеих прямых равно нулю, и она принадлежит ГМТ. Если точка $M$ не совпадает с $O$, соединим ее с точкой $O$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные катеты $MP$ и $MQ$ по условию. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и катету. Из равенства треугольников следует равенство углов $\angle POM = \angle QOM$. Это означает, что луч $OM$ является биссектрисой угла, образованного лучами $OP$ и $OQ$.

Теперь докажем обратное утверждение: любая точка, лежащая на биссектрисе угла, образованного прямыми $a$ и $b$, равноудалена от этих прямых. Пусть точка $M$ лежит на биссектрисе $OM$ одного из углов, образованных прямыми $a$ и $b$. Опустим из $M$ перпендикуляры $MP$ на $a$ и $MQ$ на $b$. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OPM$ и $\triangle OQM$. У них общая гипотенуза $OM$ и равные острые углы $\angle POM = \angle QOM$, так как $OM$ — биссектриса. Следовательно, треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Из этого следует равенство катетов $MP = MQ$. Значит, точка $M$ равноудалена от прямых $a$ и $b$.

Две пересекающиеся прямые образуют четыре угла: две пары равных вертикальных углов и четыре пары смежных углов. Биссектрисы каждой пары вертикальных углов лежат на одной прямой, образуя одну из биссектрис углов между прямыми. Биссектрисы смежных углов взаимно перпендикулярны. Таким образом, искомое ГМТ состоит из двух взаимно перпендикулярных прямых, которые являются биссектрисами всех углов, образованных при пересечении данных прямых.

Ответ: Геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных пересекающихся прямых, — это пара взаимно перпендикулярных прямых, являющихся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

561. Докажите, что если центр окружности, описанной около треугольника, принадлежит его стороне, то этот треугольник — прямоугольный.