Номер 558, страница 146 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 558, страница 146.

558. Отрезки $AB$ и $CD$ – диаметры окружности. Угол между прямыми $AB$ и $CD$ равен $30^\circ$. Найдите расстояние от точки $C$ до прямой $AB$, если диаметр окружности равен $10$ см.

Пусть O — центр окружности. Так как отрезки AB и CD являются диаметрами, они пересекаются в точке O. Следовательно, отрезки OA, OB, OC и OD являются радиусами окружности.

По условию, диаметр окружности равен 10 см, значит, ее радиус R равен:
$R = OC = \frac{10}{2} = 5$ см.

Угол между прямыми AB и CD равен 30°. Это означает, что один из углов, образованных при пересечении диаметров в точке O, равен 30°. Возьмем острый угол между ними, пусть это будет $\angle AOC = 30^\circ$.

Расстояние от точки C до прямой AB — это длина перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую AB. Обозначим основание этого перпендикуляра точкой H. Таким образом, искомое расстояние — это длина отрезка CH.

Рассмотрим треугольник $\triangle OCH$. Он является прямоугольным, так как $CH \perp AB$ по построению, и, следовательно, $\angle CHO = 90^\circ$. В этом треугольнике:

• гипотенуза $OC$ является радиусом и равна 5 см;
• угол $\angle COH$ совпадает с углом $\angle AOC$, то есть $\angle COH = 30^\circ$;
• катет $CH$ — искомое расстояние.

В прямоугольном треугольнике катет, противолежащий углу, равен произведению гипотенузы на синус этого угла. Таким образом, мы можем записать:
$CH = OC \cdot \sin(\angle COH)$

Подставим известные значения:
$CH = 5 \cdot \sin(30^\circ)$

Зная, что значение синуса 30° равно $\frac{1}{2}$, находим длину CH:
$CH = 5 \cdot \frac{1}{2} = 2,5$ см.

Ответ: 2,5 см.

558. Периметр треугольника $ABC$, описанного около окружности, равен 52 см. Точка касания со стороной $AB$ делит эту сторону в отношении $2 : 3$, считая от вершины $A$. Точка касания со стороной $BC$ удалена от вершины $C$ на 6 см. Найдите стороны треугольника.