Номер 565, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 565, страница 147.

565. Отрезок $AB$ – диаметр окружности, $M$ – произвольная точка окружности, отличная от точек $A$ и $B$. Докажите, что $\angle AMB = 90^\circ$.

Для доказательства данного утверждения можно использовать несколько способов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Через свойство вписанного угла

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность, называется вписанным. Угол $∠AMB$ является вписанным, так как его вершина $M$ лежит на окружности, а стороны $MA$ и $MB$ являются хордами.

Согласно теореме о вписанном угле, его градусная мера равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается. Угол $∠AMB$ опирается на дугу $AB$.

Так как отрезок $AB$ является диаметром, он делит окружность на две полуокружности. Градусная мера всей окружности равна $360°$, следовательно, градусная мера дуги $AB$ равна $180°$.

Таким образом, величина угла $∠AMB$ равна:
$∠AMB = \frac{1}{2} \cdot \text{дуга } AB = \frac{1}{2} \cdot 180° = 90°$.

Ответ: $∠AMB = 90°$.

Способ 2: Через свойства равнобедренных треугольников

Пусть $O$ — центр окружности. Поскольку $AB$ — диаметр, точка $O$ является его серединой.

Проведем радиус $OM$, соединяющий центр с точкой $M$. Отрезки $OA$, $OB$ и $OM$ равны как радиусы одной и той же окружности: $OA = OB = OM = r$.

Рассмотрим треугольник $AOM$. Он является равнобедренным, так как $OA = OM$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $∠OAM = ∠OMA$. Обозначим величину этих углов как $α$.

Аналогично, рассмотрим треугольник $BOM$. Он также является равнобедренным, так как $OB = OM$. Следовательно, углы при его основании равны: $∠OBM = ∠OMB$. Обозначим величину этих углов как $β$.

Угол $∠AMB$ составлен из двух углов $∠OMA$ и $∠OMB$, следовательно, $∠AMB = ∠OMA + ∠OMB = α + β$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $AMB$ имеем:
$∠MAB + ∠MBA + ∠AMB = 180°$.

Подставим в это равенство выражения для углов через $α$ и $β$:
$α + β + (α + β) = 180°$.

Упростим и решим полученное уравнение:
$2α + 2β = 180°$
$2(α + β) = 180°$
$α + β = 90°$.

Поскольку $∠AMB = α + β$, мы доказали, что $∠AMB = 90°$.

Ответ: $∠AMB = 90°$.

565. В треугольнике $ABC$ отрезок $BD$ – медиана, $AB = 7$ см, $BC = 8$ см. В треугольники $ABD$ и $BDC$ вписали окружности. Найдите расстояние между точками касания этих окружностей с отрезком $BD$.