Номер 571, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 571, страница 147.

571. В остроугольном треугольнике один из внешних углов равен $160^\circ$. Найдите угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин треугольника.

Пусть дан остроугольный треугольник $ABC$. Один из его внешних углов равен $160^\circ$. Внешний угол при некоторой вершине и внутренний угол при той же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^\circ$.

Пусть внешний угол при вершине $C$ равен $160^\circ$. Тогда соответствующий внутренний угол треугольника $\angle C$ равен:
$\angle C = 180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$

Задача просит найти угол между прямыми, на которых лежат высоты, проведённые из двух других вершин, то есть из вершин $A$ и $B$. Обозначим эти высоты как $AA_1$ (к стороне $BC$) и $BB_1$ (к стороне $AC$). Пусть $H$ — точка их пересечения (ортоцентр). Так как треугольник по условию остроугольный, точка $H$ лежит внутри треугольника.

По определению высоты, $AA_1 \perp BC$ и $BB_1 \perp AC$. Следовательно, в четырехугольнике $A_1HB_1C$ углы $\angle HA_1C$ и $\angle HB_1C$ являются прямыми:
$\angle HA_1C = 90^\circ$
$\angle HB_1C = 90^\circ$

Сумма углов в любом четырехугольнике равна $360^\circ$. Рассмотрим четырехугольник $A_1HB_1C$. Мы знаем три его угла: $\angle C = 20^\circ$, $\angle HA_1C = 90^\circ$ и $\angle HB_1C = 90^\circ$. Найдем четвертый угол, $\angle A_1HB_1$:
$\angle A_1HB_1 = 360^\circ - (\angle C + \angle HA_1C + \angle HB_1C)$
$\angle A_1HB_1 = 360^\circ - (20^\circ + 90^\circ + 90^\circ) = 360^\circ - 200^\circ = 160^\circ$

Угол $\angle AHB$ и угол $\angle A_1HB_1$ являются вертикальными, следовательно, они равны.
$\angle AHB = \angle A_1HB_1 = 160^\circ$

При пересечении двух прямых (в данном случае прямых $AA_1$ и $BB_1$) образуются две пары смежных углов. Один из этих углов равен $160^\circ$. Смежный с ним угол будет равен $180^\circ - 160^\circ = 20^\circ$. Углом между двумя прямыми принято считать меньший (острый) из углов, образовавшихся при их пересечении.

Таким образом, искомый угол между прямыми, на которых лежат высоты, равен $20^\circ$.

Ответ: $20^\circ$

Найдите углы данного треугольника.

571. На рисунке 311 $BC \parallel AD$, $AB = 3$ см, $BC = 10$ см. Биссектриса угла $BAD$ пересекает отрезок $BC$ в точке $K$. Найдите отрезки $BK$ и $KC$.

Рис. 310

Рис. 311