Номер 6, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 6, страница 151.

6. Сформулируйте признак касательной к окружности.

Признак касательной к окружности формулируется следующим образом: если прямая, проходящая через точку, лежащую на окружности, перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то эта прямая является касательной к данной окружности.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть точка $A$ лежит на этой окружности. Через точку $A$ проведена прямая $a$ так, что радиус $OA$ перпендикулярен прямой $a$ (то есть $OA \perp a$).

Требуется доказать, что прямая $a$ является касательной к окружности, то есть имеет с ней только одну общую точку — точку $A$.

Возьмём на прямой $a$ любую точку $M$, отличную от точки $A$. Соединим точку $M$ с центром окружности $O$ и рассмотрим треугольник $OAM$.

По условию, $OA \perp a$, следовательно, треугольник $OAM$ является прямоугольным, где $OA$ — это катет, а $OM$ — гипотенуза.

Известно, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда длиннее любого из катетов. Следовательно, длина отрезка $OM$ больше длины отрезка $OA$: $OM > OA$.

Поскольку точка $A$ лежит на окружности, отрезок $OA$ является её радиусом, то есть $OA = R$. Таким образом, $OM > R$.

Это означает, что расстояние от центра окружности $O$ до любой точки $M$ на прямой $a$ (кроме точки $A$) больше радиуса. Значит, все эти точки лежат вне окружности.

Таким образом, прямая $a$ имеет с окружностью только одну общую точку — $A$. По определению, прямая, имеющая с окружностью ровно одну общую точку, является касательной. Теорема доказана.

Ответ: Если прямая проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку, то она является касательной к этой окружности.

6. Сформулируйте признак касательной к окружности.