Номер 575, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 575, страница 151.

575. Начертите окружность, отметьте на ней точки $A$ и $B$. Пользуясь линейкой и угольником, проведите прямые, которые касаются окружности в точках $A$ и $B$.

Для построения касательных к окружности в заданных точках A и B, необходимо использовать основное свойство касательной: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть у нас есть окружность с центром в точке О (если центр не указан, его можно найти, например, как точку пересечения серединных перпендикуляров к двум любым непараллельным хордам). На окружности отмечены точки А и В.

Последовательность действий для построения касательной в точке А (для точки В действия аналогичны):

1. С помощью линейки соединяем центр окружности О и точку А. Получаем отрезок ОА, который является радиусом окружности.
2. Берем угольник и прикладываем один из его катетов (сторону, образующую прямой угол) к радиусу ОА.
3. К другому катету угольника плотно прикладываем линейку.
4. Крепко держим линейку, чтобы она не сдвигалась, и перемещаем (скользим) угольник вдоль линейки до тех пор, пока его первый катет не окажется на точке А.
5. Проводим прямую вдоль этого катета через точку А.

Построенная прямая будет перпендикулярна радиусу ОА в его конце, лежащем на окружности. Следовательно, эта прямая является касательной к окружности в точке А. Обозначим ее $a$. Таким образом, $a \perp OA$.

Точно так же строим касательную в точке В:

1. Проводим радиус ОВ.
2. Прикладываем угольник и линейку к радиусу ОВ так же, как в шагах 2 и 3.
3. Перемещаем угольник вдоль линейки до совмещения его катета с точкой В.
4. Проводим прямую через точку В вдоль катета угольника.

Эта прямая (обозначим ее $b$) будет касательной к окружности в точке В, так как по построению она перпендикулярна радиусу ОВ ($b \perp OB$).

Ответ: Касательные в точках А и В построены путем проведения прямых, перпендикулярных радиусам ОА и ОВ в точках А и В соответственно, с использованием линейки и угольника.

575. Начертите острый угол $ABC$ и проведите луч $DK$. Постройте угол $MDK$ такой, что $\angle MDK = 2\angle ABC$.