Номер 578, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 578, страница 151.

578. Можно ли утверждать, что прямая, перпендикулярная радиусу окружности, касается этой окружности?

Нет, это утверждение в общем случае неверно. Оно справедливо только при одном дополнительном условии.

Свойство касательной к окружности гласит: касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В вопросе же не указано, в какой точке прямая перпендикулярна радиусу. Рассмотрим возможные случаи.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $OA$ — один из ее радиусов ($OA = R$).

1. Прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей на окружности.
Если прямая $a$ проходит через точку $A$ и перпендикулярна радиусу $OA$, то расстояние от центра окружности $O$ до прямой $a$ равно длине перпендикуляра, то есть $OA = R$. Прямая, расстояние от которой до центра окружности равно радиусу, имеет с окружностью ровно одну общую точку. Следовательно, в этом случае прямая $a$ является касательной.

2. Прямая перпендикулярна радиусу в точке, лежащей внутри окружности.
Если прямая $b$ перпендикулярна радиусу $OA$ в некоторой точке $M$, лежащей между точками $O$ и $A$, то расстояние от центра $O$ до прямой $b$ равно $OM$. Так как точка $M$ лежит внутри окружности, то $OM < R$. Прямая, расстояние от которой до центра окружности меньше радиуса, пересекает окружность в двух точках, то есть является секущей, а не касательной.

Таким образом, утверждение, что любая прямая, перпендикулярная радиусу, является касательной, неверно. Необходимо уточнение, что прямая должна проходить через конец радиуса, лежащий на окружности.

Ответ: Нет, утверждать этого нельзя. Прямая, перпендикулярная радиусу, касается окружности только в том случае, если она проходит через конец радиуса, который лежит на самой окружности. В других случаях она либо пересекает окружность в двух точках (является секущей), либо не имеет с ней общих точек.

578. Постройте угол, равный: 1) $45^\circ$; 2) $60^\circ$; 3) $75^\circ$; 4) $120^\circ$.