Номер 585, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 585, страница 152.

585. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке O, и в ней проведены две хорды AB и CD. Расстоянием от центра до хорды является длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляры OH на AB и OK на CD. По условию, эти расстояния равны: $OH = OK$. Нам нужно доказать, что длины хорд также равны: $AB = CD$.

Соединим центр O с точками A и C, получив радиусы OA и OC. Поскольку это радиусы одной и той же окружности, они равны: $OA = OC$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Так как OH и OK являются перпендикулярами к хордам, оба эти треугольника — прямоугольные (с прямыми углами при вершинах H и K соответственно).

В этих прямоугольных треугольниках гипотенузы $OA$ и $OC$ равны (как радиусы), и катеты $OH$ и $OK$ равны (по условию задачи). Следовательно, треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны катеты $AH$ и $CK$: $AH = CK$.

По свойству хорды в окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Это означает, что H — середина AB, и K — середина CD. Таким образом, $AB = 2 \cdot AH$ и $CD = 2 \cdot CK$.

Так как мы установили, что $AH = CK$, то и их удвоенные значения равны: $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$. Это означает, что $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

585. Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.