Номер 584, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 584, страница 152.

584. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, то есть $AB = CD$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, по определению, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. Длины этих перпендикуляров, $OH$ и $OK$, и являются расстояниями от центра до хорд. Нам необходимо доказать, что $OH = OK$.

Соединим концы хорд $A$ и $C$ с центром окружности $O$. Получим отрезки $OA$ и $OC$, которые являются радиусами данной окружности, а значит, они равны: $OA = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Они являются прямоугольными, так как $OH$ и $OK$ — перпендикуляры к хордам.

Используем свойство окружности: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ — середина хорды $AB$, и $AH = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, точка $K$ — середина хорды $CD$, и $CK = \frac{1}{2}CD$.

По условию задачи хорды равны: $AB = CD$. Из этого следует, что и их половины также равны: $AH = CK$.

Теперь мы можем сравнить прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. В этих треугольниках:
1. Гипотенузы равны: $OA = OC = R$ (как радиусы одной окружности).
2. Катеты равны: $AH = CK$ (как было доказано выше).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и катетов $OH$ и $OK$. Таким образом, $OH = OK$.

Мы доказали, что расстояния от центра окружности до равных хорд одинаковы, то есть равные хорды равноудалены от центра окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

584. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.