Страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

581. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, $\angle AOB = 80^\circ$ (см. рис. 338). Найдите угол BAC.

Рис. 338

Рассмотрим треугольник $AOB$. Поскольку $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$.
Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Для треугольника $AOB$ имеем:$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$
По условию задачи, центральный угол $\angle AOB = 80°$. Подставив это значение в формулу, получим:$2 \cdot \angle OAB + 80° = 180°$
$2 \cdot \angle OAB = 180° - 80°$
$2 \cdot \angle OAB = 100°$
$\angle OAB = \frac{100°}{2} = 50°$

Прямая $CD$ касается окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен прямой $CD$, и угол между ними составляет $90°$. Из рисунка видно, что $\angle OAD = 90°$.
Угол $\angle OAD$ состоит из двух углов: $\angle OAB$ и $\angle BAD$. То есть:$\angle OAD = \angle OAB + \angle BAD$
Подставим известные значения углов:$90° = 50° + \angle BAD$
Отсюда можем найти угол $\angle BAD$:$\angle BAD = 90° - 50° = 40°$

Точки $C$, $A$ и $D$ лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $\angle CAD = 180°$. Этот угол состоит из суммы углов $\angle BAC$ и $\angle BAD$:$\angle BAC + \angle BAD = 180°$
Теперь мы можем найти искомый угол $\angle BAC$:$\angle BAC = 180° - \angle BAD = 180° - 40° = 140°$

Ответ: $140°$.

581. Начертите треугольник $ABC$. Постройте его:

1) высоту $AM$;

2) медиану $BD$;

3) биссектрису $CK$.

582. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая $a$ удалена от её центра на:

1) 2 см;

2) 3 см;

3) 6 см.

В каком случае прямая $a$ является касательной к окружности?

Для решения задачи сначала необходимо найти радиус окружности. По условию, диаметр окружности $D$ равен 6 см. Радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между расстоянием от центра окружности до прямой (обозначим его $d$) и радиусом окружности $r$.

• Если $d < r$, прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).
• Если $d = r$, прямая касается окружности в одной точке (является касательной).
• Если $d > r$, прямая не имеет общих точек с окружностью.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

1) Расстояние от центра до прямой a равно 2 см.

В этом случае $d = 2$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d < r$, так как $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a пересекает окружность в двух точках.

Ответ: прямая пересекает окружность.

2) Расстояние от центра до прямой a равно 3 см.

В этом случае $d = 3$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = r$, так как $3 \text{ см} = 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.

Ответ: прямая является касательной к окружности.

3) Расстояние от центра до прямой a равно 6 см.

В этом случае $d = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d > r$, так как $6 \text{ см} > 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a не имеет общих точек с окружностью.

Ответ: прямая не имеет общих точек с окружностью.

Таким образом, отвечая на вопрос "В каком случае прямая a является касательной к окружности?", мы выбираем случай, когда расстояние от прямой до центра равно радиусу.

Ответ: прямая a является касательной к окружности, когда она удалена от ее центра на 3 см (случай 2).

582. Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.

583. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Докажите, что:

1) прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$, проходящей через точку $C$;

2) прямая $AB$ не является касательной к окружности с центром $C$, проходящей через точку $A$.

1) прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C

Рассмотрим окружность с центром в точке A, которая проходит через точку C. По определению, отрезок AC является радиусом этой окружности.

Согласно признаку касательной, прямая является касательной к окружности, если она проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

В нашем случае точка C лежит на окружности, а прямая BC проходит через эту точку. Нам нужно доказать, что прямая BC перпендикулярна радиусу AC.

По условию задачи, в треугольнике ABC угол C прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что стороны (катеты) AC и BC перпендикулярны: $AC \perp BC$.

Так как радиус AC перпендикулярен прямой BC в точке C, то прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A

Рассмотрим окружность с центром в точке C, которая проходит через точку A. По определению, отрезок CA является радиусом этой окружности.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что прямая AB является касательной к этой окружности в точке A.

Если бы AB была касательной, то по свойству касательной она была бы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае это означало бы, что прямая AB перпендикулярна радиусу CA, то есть угол между ними должен быть прямым: $\angle CAB = 90^\circ$.

По условию задачи, в треугольнике ABC угол $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника ABC имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Если бы наше предположение было верным ($\angle A = \angle CAB = 90^\circ$), то сумма двух углов треугольника ($\angle A$ и $\angle C$) была бы равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означало бы, что третий угол, $\angle B$, равен $0^\circ$, что невозможно для существования треугольника.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и угол $\angle CAB$ не может быть равен $90^\circ$. А раз радиус CA не перпендикулярен прямой AB в точке A, то прямая AB не является касательной к данной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

583. Постройте треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим углам.

584. Докажите, что равные хорды окружности равноудалены от её центра.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ и $CD$ — две равные хорды этой окружности, то есть $AB = CD$.

Расстоянием от точки до прямой называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Проведем из центра $O$ перпендикуляры $OH$ к хорде $AB$ и $OK$ к хорде $CD$. Таким образом, по определению, $OH \perp AB$ и $OK \perp CD$. Длины этих перпендикуляров, $OH$ и $OK$, и являются расстояниями от центра до хорд. Нам необходимо доказать, что $OH = OK$.

Соединим концы хорд $A$ и $C$ с центром окружности $O$. Получим отрезки $OA$ и $OC$, которые являются радиусами данной окружности, а значит, они равны: $OA = OC = R$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Они являются прямоугольными, так как $OH$ и $OK$ — перпендикуляры к хордам.

Используем свойство окружности: перпендикуляр, опущенный из центра окружности на хорду, делит эту хорду пополам. Следовательно, точка $H$ — середина хорды $AB$, и $AH = \frac{1}{2}AB$. Аналогично, точка $K$ — середина хорды $CD$, и $CK = \frac{1}{2}CD$.

По условию задачи хорды равны: $AB = CD$. Из этого следует, что и их половины также равны: $AH = CK$.

Теперь мы можем сравнить прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. В этих треугольниках:
1. Гипотенузы равны: $OA = OC = R$ (как радиусы одной окружности).
2. Катеты равны: $AH = CK$ (как было доказано выше).

Следовательно, прямоугольные треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по гипотенузе и катету.

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов, в том числе и катетов $OH$ и $OK$. Таким образом, $OH = OK$.

Мы доказали, что расстояния от центра окружности до равных хорд одинаковы, то есть равные хорды равноудалены от центра окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

584. Постройте окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой в данной точке.

585. Докажите, что если хорды окружности равноудалены от её центра, то они равны.

Пусть дана окружность с центром в точке O, и в ней проведены две хорды AB и CD. Расстоянием от центра до хорды является длина перпендикуляра, опущенного из центра на хорду. Опустим перпендикуляры OH на AB и OK на CD. По условию, эти расстояния равны: $OH = OK$. Нам нужно доказать, что длины хорд также равны: $AB = CD$.

Соединим центр O с точками A и C, получив радиусы OA и OC. Поскольку это радиусы одной и той же окружности, они равны: $OA = OC$.

Теперь рассмотрим два треугольника: $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$. Так как OH и OK являются перпендикулярами к хордам, оба эти треугольника — прямоугольные (с прямыми углами при вершинах H и K соответственно).

В этих прямоугольных треугольниках гипотенузы $OA$ и $OC$ равны (как радиусы), и катеты $OH$ и $OK$ равны (по условию задачи). Следовательно, треугольники $\triangle OHA$ и $\triangle OKC$ равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

Из равенства треугольников следует равенство всех их соответствующих элементов. В частности, равны катеты $AH$ и $CK$: $AH = CK$.

По свойству хорды в окружности, перпендикуляр, опущенный из центра на хорду, делит её пополам. Это означает, что H — середина AB, и K — середина CD. Таким образом, $AB = 2 \cdot AH$ и $CD = 2 \cdot CK$.

Так как мы установили, что $AH = CK$, то и их удвоенные значения равны: $2 \cdot AH = 2 \cdot CK$. Это означает, что $AB = CD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

585. Через данную точку, принадлежащую углу, проведите прямую, отсекающую на сторонах угла равные отрезки.

586. Докажите, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

Рассмотрим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $R$. Пусть $AB$ — произвольная хорда этой окружности, которая не является диаметром. Это означает, что хорда $AB$ не проходит через центр $O$.

Соединим концы хорды, точки $A$ и $B$, с центром окружности $O$. В результате мы получим треугольник $\triangle OAB$. Стороны этого треугольника — отрезки $OA$, $OB$ и $AB$.

Поскольку точки $A$ и $B$ лежат на окружности, отрезки $OA$ и $OB$ являются ее радиусами. Следовательно, их длины равны $R$: $OA = R$ и $OB = R$.

Применим к треугольнику $\triangle OAB$ неравенство треугольника, согласно которому любая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон. Для стороны $AB$ это неравенство будет выглядеть так: $AB < OA + OB$

Подставив в это неравенство значения длин сторон $OA$ и $OB$, получим: $AB < R + R$ $AB < 2R$

Диаметр окружности $D$ по определению равен удвоенному радиусу: $D = 2R$.

Таким образом, мы получаем, что длина любой хорды $AB$, не являющейся диаметром, строго меньше длины диаметра: $AB < D$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что диаметр окружности больше любой хорды, отличной от диаметра.

586. Постройте касательную к окружности, проходящую через данную точку окружности.

587. Радиус окружности равен 7 см. Может ли длина хорды этой окружности быть равной:

1) 14 см;

2) 15 см?

Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо знать, какая хорда в окружности является самой длинной. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Самая длинная из всех возможных хорд — это диаметр, так как он проходит через центр окружности.

Найдем диаметр $d$ данной окружности, зная её радиус $r = 7$ см. Диаметр равен двум радиусам:

$d = 2r = 2 \cdot 7 = 14$ см.

Таким образом, максимальная возможная длина хорды в этой окружности составляет 14 см. Любая другая хорда будет короче диаметра. Исходя из этого, проанализируем предложенные варианты.

1) 14 см

Может ли длина хорды быть 14 см? Да, может. Такая хорда будет являться диаметром данной окружности.

Ответ: Да, может.

2) 15 см

Может ли длина хорды быть 15 см? Нет, не может. Длина любой хорды не может превышать длину диаметра, а $15 \text{ см} > 14 \text{ см}$.

Ответ: Нет, не может.

587. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла.

588. В окружности с центром O через середину радиуса провели хорду AB, перпендикулярную ему. Докажите, что $\angle AOB = 120^\circ$.

Пусть $R$ — радиус окружности с центром в точке $O$. Пусть $OC$ — радиус, о котором говорится в условии, а точка $M$ — его середина. Тогда $OM = \frac{OC}{2} = \frac{R}{2}$. Через точку $M$ проведена хорда $AB$, перпендикулярная радиусу $OC$, то есть $AB \perp OC$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OMA$. Он является прямоугольным, так как по условию $AB \perp OC$, а значит $\angle OMA = 90^\circ$. Сторона $OA$ является гипотенузой этого треугольника, так как $A$ лежит на окружности, и $OA$ — радиус. Таким образом, $OA = R$. Катет $OM$ по условию равен половине радиуса: $OM = \frac{R}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle OMA$ можем найти косинус угла $\angle AOM$, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:

$ \cos(\angle AOM) = \frac{OM}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2} $

Из этого равенства следует, что величина угла $\angle AOM$ составляет $60^\circ$.

Теперь рассмотрим центральный угол $\angle AOB$. Треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным, поскольку его стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной окружности ($OA = OB = R$). Отрезок $OM$ является высотой этого треугольника, проведенной к основанию $AB$ (так как $OM$ является частью радиуса $OC$, перпендикулярного хорде $AB$). В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и биссектрисой угла при вершине. Следовательно, $OM$ — биссектриса угла $\angle AOB$, и $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOM$.

Подставим найденное значение угла $\angle AOM$:

$ \angle AOB = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ $.

Таким образом, мы доказали, что $\angle AOB = 120^\circ$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

588. Дан угол, равный $30^\circ$. Постройте окружность заданного радиуса с центром, принадлежащим одной из сторон данного угла, касающуюся его другой стороны.

589. Найдите угол между радиусами $OA$ и $OB$ окружности, если расстояние от центра $O$ окружности до хорды $AB$ в 2 раза меньше:
1) длины хорды $AB$;
2) радиуса окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Тогда радиусы $OA$ и $OB$ равны $R$, а треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Искомый угол — это $\angle AOB$.

Проведём перпендикуляр $OH$ из центра $O$ на хорду $AB$. Длина этого перпендикуляра $OH$ и есть расстояние от центра окружности до хорды.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OH$, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что $H$ — середина хорды $AB$ (т.е. $AH = \frac{1}{2}AB$), а $OH$ — биссектриса угла $\angle AOB$ (т.е. $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$). В нём мы можем найти угол $\angle AOH$, а затем искомый угол $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH$.

1) По условию, расстояние от центра до хорды в 2 раза меньше длины хорды: $OH = \frac{1}{2}AB$.

В прямоугольном треугольнике $OHA$ катет $AH$ равен половине хорды $AB$, то есть $AH = \frac{1}{2}AB$. Таким образом, мы получаем, что катеты $OH$ и $AH$ равны. Для нахождения угла $\angle AOH$ воспользуемся тангенсом, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH} = \frac{AB/2}{AB/2} = 1$.
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle AOH = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен удвоенному углу $\angle AOH$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) По условию, расстояние от центра до хорды в 2 раза меньше радиуса окружности: $OH = \frac{1}{2}R$.

В прямоугольном треугольнике $OHA$ нам известны гипотенуза $OA = R$ и прилежащий к углу $\angle AOH$ катет $OH = \frac{1}{2}R$. Для нахождения угла $\angle AOH$ воспользуемся косинусом, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOH = 60^\circ$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен удвоенному углу $\angle AOH$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

589. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.

590. В окружности провели диаметр $AB$ и хорды $AC$ и $CD$ так, что $AC = 12$ см, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB \perp CD$. Найдите длину хорды $CD$.

1. Рассмотрим треугольник $ACB$. Так как $AB$ — диаметр окружности, то вписанный угол $∠ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $∠ACB = 90°$, и треугольник $ACB$ — прямоугольный.

2. В прямоугольном треугольнике $ACB$ известны катет $AC = 12$ см и прилежащий острый угол $∠BAC = 30°$. Мы можем найти длину гипотенузы $AB$ (диаметра окружности) через косинус этого угла:
$cos(∠BAC) = \frac{AC}{AB}$
$AB = \frac{AC}{cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

3. Теперь найдем длину второго катета $BC$, используя тангенс угла $∠BAC$:
$tan(∠BAC) = \frac{BC}{AC}$
$BC = AC \cdot tan(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

4. Пусть $H$ — точка пересечения диаметра $AB$ и хорды $CD$. По условию $AB \perp CD$, значит, отрезок $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $ACB$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

5. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения катетов или как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.
$S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
Приравняем правые части:
$AC \cdot BC = AB \cdot CH$
Подставим известные значения и найдем длину высоты $CH$:
$12 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot CH$
$48\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot CH$
$CH = \frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 6$ см.

6. Согласно свойству окружности, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Так как $AB \perp CD$, то точка $H$ является серединой хорды $CD$.
Следовательно, $CD = 2 \cdot CH$.
$CD = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

590. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам;

2) по гипотенузе и острому углу;

3) по катету и прилежащему острому углу.

591. Прямые $AB$ и $AC$ касаются окружности с центром $O$ в точках $B$ и $C$.

Докажите, что луч $AO$ – биссектриса угла $BAC$.

Для доказательства того, что луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$, необходимо показать, что он делит этот угол на два равных угла, то есть $\angle BAO = \angle CAO$.

Рассмотрим треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$.

1. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Поскольку $AB$ и $AC$ — касательные в точках $B$ и $C$ соответственно, то $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$. Это означает, что $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ являются прямоугольными треугольниками, где $\angle ABO = 90^\circ$ и $\angle ACO = 90^\circ$.

2. Стороны $OB$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, следовательно, их длины равны: $OB = OC$.

3. Сторона $AO$ является общей для обоих треугольников.

Таким образом, прямоугольные треугольники $\triangle ABO$ и $\triangle ACO$ равны по гипотенузе (общая сторона $AO$) и катету ($OB = OC$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих углов. Углы $\angle BAO$ и $\angle CAO$ лежат напротив равных катетов $OB$ и $OC$ соответственно, поэтому $\angle BAO = \angle CAO$.

Поскольку луч $AO$ делит угол $BAC$ на два равных угла, по определению он является биссектрисой этого угла.

Ответ: Утверждение доказано. Так как $\triangle ABO \cong \triangle ACO$, то $\angle BAO = \angle CAO$, следовательно, луч $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

591. Постройте прямоугольный треугольник по катету и противолежащему острому углу.

592. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B – точки касания, $\angle OAB = 20^\circ$. Найдите угол $\angle AMB$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности, то $OA = OB$. Следовательно, треугольник $OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию $∠OAB = 20°$, значит, $∠OBA = ∠OAB = 20°$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OA ⊥ MA$. Это означает, что угол $∠OAM$ является прямым, то есть $∠OAM = 90°$.

Угол $∠OAM$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и $∠MAB$. Отсюда мы можем найти величину угла $∠MAB$:

$∠MAB = ∠OAM - ∠OAB = 90° - 20° = 70°$.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны между собой. Следовательно, $MA = MB$. Это означает, что треугольник $AMB$ также является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $AMB$ углы при основании равны: $∠MBA = ∠MAB = 70°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $AMB$ это записывается как:

$∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°$

Подставим найденные значения углов в это уравнение:

$∠AMB + 70° + 70° = 180°$

$∠AMB + 140° = 180°$

$∠AMB = 180° - 140° = 40°$.

Ответ: 40°.

592. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу при вершине;

2) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

3) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

4) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.

593. Через концы хорды $AB$, равной радиусу окружности, провели две касательные, пересекающиеся в точке $C$. Найдите угол $ACB$.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Согласно условию, хорда $AB$ равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$, образованный хордой $AB$ и двумя радиусами $OA$ и $OB$, проведенными к ее концам. Так как $OA = R$ и $OB = R$, а по условию $AB = R$, то все стороны этого треугольника равны: $OA = OB = AB = R$. Следовательно, треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Таким образом, центральный угол, опирающийся на хорду $AB$, равен $\angle AOB = 60^\circ$.

Через концы хорды, точки $A$ и $B$, проведены касательные, которые пересекаются в точке $C$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Это означает, что $OA \perp AC$ и $OB \perp BC$. Отсюда следует, что углы $\angle OAC$ и $\angle OBC$ являются прямыми: $\angle OAC = 90^\circ$ и $\angle OBC = 90^\circ$.

Рассмотрим четырехугольник $OACB$. Сумма внутренних углов любого выпуклого четырехугольника составляет $360^\circ$. Для четырехугольника $OACB$ можно записать следующее равенство:
$\angle AOB + \angle OAC + \angle OBC + \angle ACB = 360^\circ$

Подставим известные величины углов в это уравнение:
$60^\circ + 90^\circ + 90^\circ + \angle ACB = 360^\circ$
$240^\circ + \angle ACB = 360^\circ$

Из этого уравнения находим искомый угол $\angle ACB$:
$\angle ACB = 360^\circ - 240^\circ$
$\angle ACB = 120^\circ$

Ответ: $120^\circ$.

593. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по основанию и углу при основании;

2) по боковой стороне и углу при основании;

3) по боковой стороне и высоте, проведённой к основанию.

594. Через точку $C$ окружности с центром $O$ провели касательную к этой окружности, отрезок $AB$ – диаметр окружности. Из точки $A$ на касательную опущен перпендикуляр $AD$. Докажите, что луч $AC$ – биссектриса угла $BAD$.

Доказательство:

1. Пусть прямая, касательная к окружности в точке $C$, будет обозначена как $l$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OC$ перпендикулярен прямой $l$, то есть $OC \perp l$.

2. По условию задачи, из точки $A$ на касательную $l$ опущен перпендикуляр $AD$. Это означает, что $AD \perp l$.

3. Поскольку две прямые $OC$ и $AD$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу. Таким образом, $OC \parallel AD$.

4. Рассмотрим параллельные прямые $OC$ и $AD$ и секущую $AC$, которая их пересекает. Углы $\angle CAD$ и $\angle OCA$ являются накрест лежащими углами при этих параллельных прямых и секущей, следовательно, они равны: $\angle CAD = \angle OCA$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, поэтому они равны: $OA = OC$.

6. Так как две стороны треугольника $\triangle AOC$ равны ($OA=OC$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle OAC = \angle OCA$.

7. Сопоставим равенства, полученные в пунктах 4 и 6:

• $\angle CAD = \angle OCA$
• $\angle OAC = \angle OCA$

Из этих двух равенств следует, что $\angle CAD = \angle OAC$.

8. Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, так как $AB$ — диаметр. Это означает, что угол $\angle OAC$ и угол $\angle BAC$ — это один и тот же угол. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BAC$.

9. Равенство углов $\angle CAD$ и $\angle BAC$ означает, что луч $AC$ делит угол $\angle BAD$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

594. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник:

1) по катету;

2) по гипотенузе.

595. Прямая AC касается окружности с центром $O$ в точке $A$ (рис. 339). Докажите, что угол $BAC$ в 2 раза меньше угла $AOB$.

Рис. 339

Рассмотрим треугольник $AOB$. В этом треугольнике стороны $OA$ и $OB$ равны как радиусы одной и той же окружности ($OA = OB = R$). Следовательно, треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

По свойству равнобедренного треугольника, углы при основании равны: $∠OAB = ∠OBA$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Для треугольника $AOB$ это записывается как:

$∠AOB + ∠OAB + ∠OBA = 180°$

Поскольку $∠OAB = ∠OBA$, мы можем переписать это уравнение:

$∠AOB + 2 \cdot ∠OAB = 180°$

Выразим из этого уравнения угол $∠OAB$:

$2 \cdot ∠OAB = 180° - ∠AOB$

$∠OAB = \frac{180° - ∠AOB}{2} = 90° - \frac{1}{2}∠AOB$

Теперь рассмотрим касательную $AC$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае радиус $OA$ проведен в точку касания $A$, следовательно, $OA \perp AC$. Это означает, что угол между радиусом и касательной равен $90°$:

$∠OAC = 90°$

Из рисунка видно, что угол $∠OAC$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и $∠BAC$. Таким образом:

$∠OAC = ∠OAB + ∠BAC$

Подставляя известное значение $∠OAC = 90°$, получаем:

$90° = ∠OAB + ∠BAC$

Выразим отсюда угол $∠BAC$:

$∠BAC = 90° - ∠OAB$

Наконец, подставим в это равенство ранее найденное выражение для $∠OAB = 90° - \frac{1}{2}∠AOB$:

$∠BAC = 90° - (90° - \frac{1}{2}∠AOB)$

$∠BAC = 90° - 90° + \frac{1}{2}∠AOB$

$∠BAC = \frac{1}{2}∠AOB$

Это равенство означает, что угол $BAC$ в 2 раза меньше угла $AOB$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано, $∠BAC = \frac{1}{2}∠AOB$.

595. Постройте окружность, центром которой является данная точка на стороне данного острого угла и которая отсекает на другой стороне угла отрезок данной длины.

596. Отрезки $AB$ и $BC$ соответственно хорда и диаметр окружности, $\angle ABC = 30^\circ$. Через точку $A$ провели касательную к окружности, пересекающую прямую $BC$ в точке $D$. Докажите, что $\triangle ABD$ равнобедренный.

Для доказательства того, что треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным, необходимо показать, что у него равны либо две стороны, либо два угла.

1. Пусть O — центр окружности. Поскольку BC — это диаметр, точка O является его серединой.

2. Проведем радиус OA. Рассмотрим треугольник $\triangle OAB$. Стороны OA и OB являются радиусами одной и той же окружности, поэтому они равны: $OA = OB$. Это означает, что $\triangle OAB$ — равнобедренный.

3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В $\triangle OAB$ основанием является сторона AB, следовательно, углы $\angle OAB$ и $\angle OBA$ равны. По условию задачи $\angle ABC = 30^\circ$, что совпадает с углом $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OAB = \angle OBA = 30^\circ$.

4. Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Найдем угол при вершине O в $\triangle OAB$:
$\angle AOB = 180^\circ - (\angle OAB + \angle OBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

5. Точки B, O и C лежат на одной прямой, так как BC — диаметр. Следовательно, угол $\angle BOC$ является развернутым и равен $180^\circ$. Углы $\angle AOB$ и $\angle AOC$ являются смежными, а значит, их сумма равна $180^\circ$. Найдем угол $\angle AOC$:
$\angle AOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAD$. Прямая AD является касательной к окружности, проведенной через точку A. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае это означает, что $OA \perp AD$, и, следовательно, $\angle OAD = 90^\circ$.

7. В $\triangle OAD$ нам известны два угла: $\angle OAD = 90^\circ$ и $\angle AOD = \angle AOC = 60^\circ$ (поскольку точка D лежит на прямой BC). Найдем третий угол этого треугольника, $\angle ODA$:
$\angle ODA = 180^\circ - (\angle OAD + \angle AOD) = 180^\circ - (90^\circ + 60^\circ) = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

8. Угол $\angle ODA$ — это тот же самый угол, что и $\angle BDA$ в треугольнике $\triangle ABD$.

9. Таким образом, в треугольнике $\triangle ABD$ мы имеем два равных угла:

• $\angle ABD = 30^\circ$ (по условию).
• $\angle BDA = 30^\circ$ (как было доказано выше).

Поскольку в треугольнике $\triangle ABD$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны, то есть $AB = AD$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Треугольник $\triangle ABD$ является равнобедренным, так как два его угла равны ($\angle ABD = \angle ADB = 30^\circ$), что доказывает равенство сторон $AB$ и $AD$.

596. Как разделить пополам отрезок, длина которого в несколько раз больше наибольшего раствора циркуля?