Номер 594, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 594, страница 152.

594. Через точку $C$ окружности с центром $O$ провели касательную к этой окружности, отрезок $AB$ – диаметр окружности. Из точки $A$ на касательную опущен перпендикуляр $AD$. Докажите, что луч $AC$ – биссектриса угла $BAD$.

Доказательство:

1. Пусть прямая, касательная к окружности в точке $C$, будет обозначена как $l$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OC$ перпендикулярен прямой $l$, то есть $OC \perp l$.

2. По условию задачи, из точки $A$ на касательную $l$ опущен перпендикуляр $AD$. Это означает, что $AD \perp l$.

3. Поскольку две прямые $OC$ и $AD$ перпендикулярны одной и той же прямой $l$, они параллельны друг другу. Таким образом, $OC \parallel AD$.

4. Рассмотрим параллельные прямые $OC$ и $AD$ и секущую $AC$, которая их пересекает. Углы $\angle CAD$ и $\angle OCA$ являются накрест лежащими углами при этих параллельных прямых и секущей, следовательно, они равны: $\angle CAD = \angle OCA$.

5. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOC$. Стороны $OA$ и $OC$ являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$, поэтому они равны: $OA = OC$.

6. Так как две стороны треугольника $\triangle AOC$ равны ($OA=OC$), этот треугольник является равнобедренным с основанием $AC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Следовательно, $\angle OAC = \angle OCA$.

7. Сопоставим равенства, полученные в пунктах 4 и 6:

• $\angle CAD = \angle OCA$
• $\angle OAC = \angle OCA$

Из этих двух равенств следует, что $\angle CAD = \angle OAC$.

8. Точки $A$, $O$, $B$ лежат на одной прямой, так как $AB$ — диаметр. Это означает, что угол $\angle OAC$ и угол $\angle BAC$ — это один и тот же угол. Таким образом, мы доказали, что $\angle CAD = \angle BAC$.

9. Равенство углов $\angle CAD$ и $\angle BAC$ означает, что луч $AC$ делит угол $\angle BAD$ на два равных угла, то есть является его биссектрисой. Что и требовалось доказать.

Ответ: Луч $AC$ является биссектрисой угла $BAD$.

594. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник:

1) по катету;

2) по гипотенузе.