Номер 600, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 600, страница 153.

600. Найдите геометрическое место центров окружностей, которые касаются данной прямой.

Геометрическое место точек (ГМТ) — это множество всех точек, удовлетворяющих определенному свойству. В данной задаче мы ищем множество всех точек, которые могут быть центрами окружностей, касающихся заданной прямой.

Пусть дана прямая $l$. Пусть точка $C$ является центром окружности, а $r$ — её радиусом.

Условие касания окружности и прямой заключается в том, что расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности. Обозначим расстояние от точки $C$ до прямой $l$ как $\rho(C, l)$. Тогда условие касания можно записать в виде равенства: $$ \rho(C, l) = r $$

По определению, радиус окружности — это положительная величина, то есть $r > 0$.

Из этого следует, что расстояние от центра $C$ до прямой $l$ также должно быть положительным: $$ \rho(C, l) > 0 $$

Расстояние от точки до прямой положительно тогда и только тогда, когда точка не лежит на этой прямой. Если точка лежит на прямой, расстояние до прямой равно нулю.

Таким образом, любая точка плоскости, не принадлежащая прямой $l$, может служить центром окружности, касающейся этой прямой. Для любой такой точки $C$ мы можем взять радиус $r = \rho(C, l)$, и построенная окружность будет касаться прямой $l$. Точки же, лежащие на прямой $l$, не могут быть центрами таких окружностей, так как для них $\rho(C, l) = 0$, что означало бы нулевой радиус, а окружности с нулевым радиусом (точки) обычно не рассматриваются, если не оговорено иное.

Следовательно, искомое геометрическое место точек — это вся плоскость, за вычетом данной прямой $l$.

Ответ: Искомое геометрическое место центров — это вся плоскость, из которой удалена данная прямая. Это множество также можно описать как объединение двух открытых полуплоскостей, границей которых является данная прямая.

600. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведённой из вершины этого угла.