Номер 604, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 604, страница 153.

604. Докажите, что середина $M$ отрезка, концы которого принадлежат двум параллельным прямым, является серединой любого отрезка, который проходит через точку $M$ и концы которого принадлежат этим прямым.

Пусть даны две параллельные прямые, назовем их $a$ и $b$, таким образом, что $a \parallel b$.

Пусть $AB$ — это отрезок, концы которого лежат на этих прямых: точка $A$ на прямой $a$ ($A \in a$) и точка $B$ на прямой $b$ ($B \in b$). По условию, точка $M$ является серединой отрезка $AB$, что означает равенство отрезков $AM = MB$.

Рассмотрим произвольный отрезок $CD$, который проходит через точку $M$ и концы которого также принадлежат данным параллельным прямым: $C \in a$ и $D \in b$.

Требуется доказать, что точка $M$ также является серединой отрезка $CD$, то есть что $CM = MD$.

Для доказательства этого утверждения рассмотрим треугольники $\triangle AMC$ и $\triangle BMD$.

Сравним элементы этих треугольников:

1. Сторона $AM$ треугольника $\triangle AMC$ равна стороне $MB$ треугольника $\triangle BMD$, так как по условию точка $M$ — середина отрезка $AB$.

2. Угол $\angle CAM$ и угол $\angle DBM$ являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении параллельных прямых $a$ и $b$ секущей $AB$. Поскольку прямые $a$ и $b$ параллельны, эти углы равны: $\angle CAM = \angle DBM$.

3. Угол $\angle AMC$ и угол $\angle BMD$ являются вертикальными углами, образованными при пересечении отрезков $AB$ и $CD$. По свойству вертикальных углов, они равны: $\angle AMC = \angle BMD$.

Таким образом, мы установили, что в треугольниках $\triangle AMC$ и $\triangle BMD$ сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника.

Следовательно, по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим углам), треугольник $\triangle AMC$ равен треугольнику $\triangle BMD$ ($\triangle AMC \cong \triangle BMD$).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон. В частности, сторона $CM$ треугольника $\triangle AMC$ равна соответствующей ей стороне $MD$ треугольника $\triangle BMD$. Таким образом, $CM = MD$.

Это доказывает, что точка $M$ является серединой отрезка $CD$. Поскольку отрезок $CD$ был выбран произвольно, данное утверждение справедливо для любого отрезка, проходящего через точку $M$ и соединяющего две параллельные прямые.

Ответ: Что и требовалось доказать.

604. Постройте треугольник по стороне и проведённым из одного и того же конца этой стороны медиане и высоте. Сколько решений может иметь задача?