Номер 602, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 602, страница 153.

602. Окружность касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$ и касается продолжения двух других сторон. Докажите, что сумма длин отрезков $BC$ и $BM$ равна половине периметра треугольника $ABC$.

Доказательство

Пусть дана окружность, которая касается стороны $AB$ треугольника $ABC$ в точке $M$. Эта окружность также касается продолжений двух других сторон, $AC$ и $BC$. Такую окружность называют вневписанной для треугольника $ABC$.

Обозначим точки касания окружности с прямыми, содержащими стороны треугольника, следующим образом:

• $M$ — точка касания на стороне $AB$.
• $N$ — точка касания на продолжении стороны $AC$ за точку $A$.
• $K$ — точка касания на продолжении стороны $BC$ за точку $B$.

Воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки: отрезки касательных от этой точки до точек касания равны.

Применим это свойство для вершин треугольника $A$, $B$ и $C$:

1. Для точки $A$ касательными являются отрезки $AM$ и $AN$. Следовательно, их длины равны: $AM = AN$.
2. Для точки $B$ касательными являются отрезки $BM$ и $BK$. Следовательно, их длины равны: $BM = BK$.
3. Для точки $C$ касательными являются отрезки $CN$ и $CK$. Следовательно, их длины равны: $CN = CK$.

Рассмотрим длины касательных из точки $C$. Их можно выразить через стороны треугольника и длины других касательных:

$CN = AC + AN$

$CK = BC + BK$

Так как $CN = CK$, мы можем приравнять правые части этих выражений:

$AC + AN = BC + BK$

Теперь подставим в это равенство известные нам соотношения $AN = AM$ и $BK = BM$:

$AC + AM = BC + BM$

Это ключевое соотношение для нашего доказательства.

Далее, запишем периметр $P$ треугольника $ABC$:

$P = AB + BC + AC$

Представим сторону $AB$ как сумму отрезков $AM$ и $BM$:

$P = (AM + BM) + BC + AC$

Сгруппируем слагаемые в правой части, чтобы использовать полученное ранее соотношение:

$P = (AC + AM) + (BC + BM)$

Мы уже доказали, что $AC + AM = BC + BM$. Заменим выражение $(AC + AM)$ на равное ему $(BC + BM)$:

$P = (BC + BM) + (BC + BM)$

$P = 2(BC + BM)$

Из последнего равенства выразим сумму длин отрезков $BC$ и $BM$:

$BC + BM = \frac{1}{2} P$

Таким образом, мы доказали, что сумма длин отрезков $BC$ и $BM$ равна половине периметра треугольника $ABC$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

602. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней острому углу и высоте, проведённой к данной стороне.