Номер 605, страница 153 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 605, страница 153.

605. Отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой и имеют общую середину. Точку $M$ выбрали так, что треугольник $AMB$ равнобедренный с основанием $AB$. Докажите, что $\Delta CMD$ также является равнобедренным с основанием $CD$.

Обозначим общую середину отрезков $AB$ и $CD$ точкой $O$.

По условию задачи, треугольник $AMB$ является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны, следовательно, $AM = BM$.

Рассмотрим отрезок $MO$. Поскольку точка $O$ является серединой отрезка $AB$ (так как $O$ — общая середина для $AB$ и $CD$), отрезок $MO$ является медианой треугольника $AMB$, проведенной к основанию $AB$.

Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведенная к основанию, также является и высотой. Следовательно, отрезок $MO$ является высотой, то есть он перпендикулярен основанию $AB$ ($MO \perp AB$).

Так как отрезки $AB$ и $CD$ лежат на одной прямой, то отрезок $MO$ перпендикулярен и прямой, на которой лежит отрезок $CD$. Это означает, что углы $\angle MOC$ и $\angle MOD$ являются прямыми, то есть $\angle MOC = \angle MOD = 90^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольники $\triangle MOC$ и $\triangle MOD$. У них:

• $CO = OD$, так как $O$ — середина отрезка $CD$ по условию.
• $MO$ — общая сторона.
• $\angle MOC = \angle MOD = 90^\circ$, как было показано выше.

Таким образом, треугольники $\triangle MOC$ и $\triangle MOD$ равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих сторон, то есть $CM = DM$.

Так как в треугольнике $CMD$ две стороны ($CM$ и $DM$) равны, то по определению он является равнобедренным. Сторона $CD$ при этом является его основанием.

Ответ: Треугольник $CMD$ является равнобедренным с основанием $CD$, что и требовалось доказать.

605. Постройте треугольник по высоте и двум углам, которые эта высота образует со сторонами треугольника, имеющими с высотой общую вершину. Сколько решений может иметь задача?