Номер 589, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 589, страница 152.

589. Найдите угол между радиусами $OA$ и $OB$ окружности, если расстояние от центра $O$ окружности до хорды $AB$ в 2 раза меньше:
1) длины хорды $AB$;
2) радиуса окружности.

Пусть $O$ — центр окружности, а $R$ — её радиус. Тогда радиусы $OA$ и $OB$ равны $R$, а треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$. Искомый угол — это $\angle AOB$.

Проведём перпендикуляр $OH$ из центра $O$ на хорду $AB$. Длина этого перпендикуляра $OH$ и есть расстояние от центра окружности до хорды.

В равнобедренном треугольнике $AOB$ высота $OH$, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Это означает, что $H$ — середина хорды $AB$ (т.е. $AH = \frac{1}{2}AB$), а $OH$ — биссектриса угла $\angle AOB$ (т.е. $\angle AOH = \frac{1}{2}\angle AOB$).

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OHA$ (угол $\angle OHA = 90^\circ$). В нём мы можем найти угол $\angle AOH$, а затем искомый угол $\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH$.

1) По условию, расстояние от центра до хорды в 2 раза меньше длины хорды: $OH = \frac{1}{2}AB$.

В прямоугольном треугольнике $OHA$ катет $AH$ равен половине хорды $AB$, то есть $AH = \frac{1}{2}AB$. Таким образом, мы получаем, что катеты $OH$ и $AH$ равны. Для нахождения угла $\angle AOH$ воспользуемся тангенсом, который равен отношению противолежащего катета к прилежащему:
$\tan(\angle AOH) = \frac{AH}{OH} = \frac{AB/2}{AB/2} = 1$.
Угол, тангенс которого равен 1, составляет $45^\circ$. Следовательно, $\angle AOH = 45^\circ$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен удвоенному углу $\angle AOH$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

2) По условию, расстояние от центра до хорды в 2 раза меньше радиуса окружности: $OH = \frac{1}{2}R$.

В прямоугольном треугольнике $OHA$ нам известны гипотенуза $OA = R$ и прилежащий к углу $\angle AOH$ катет $OH = \frac{1}{2}R$. Для нахождения угла $\angle AOH$ воспользуемся косинусом, который равен отношению прилежащего катета к гипотенузе:
$\cos(\angle AOH) = \frac{OH}{OA} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$.
Угол, косинус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOH = 60^\circ$.

Искомый угол $\angle AOB$ равен удвоенному углу $\angle AOH$:
$\angle AOB = 2 \cdot \angle AOH = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$.

Ответ: $120^\circ$.

589. Постройте окружность, касающуюся сторон данного угла, причём одной из них — в данной точке.