Номер 583, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 583, страница 152.

583. В треугольнике $ABC$ $\angle C = 90^\circ$. Докажите, что:

1) прямая $BC$ является касательной к окружности с центром $A$, проходящей через точку $C$;

2) прямая $AB$ не является касательной к окружности с центром $C$, проходящей через точку $A$.

1) прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C

Рассмотрим окружность с центром в точке A, которая проходит через точку C. По определению, отрезок AC является радиусом этой окружности.

Согласно признаку касательной, прямая является касательной к окружности, если она проходит через точку на окружности и перпендикулярна радиусу, проведенному в эту точку.

В нашем случае точка C лежит на окружности, а прямая BC проходит через эту точку. Нам нужно доказать, что прямая BC перпендикулярна радиусу AC.

По условию задачи, в треугольнике ABC угол C прямой, то есть $\angle C = 90^\circ$. Это означает, что стороны (катеты) AC и BC перпендикулярны: $AC \perp BC$.

Так как радиус AC перпендикулярен прямой BC в точке C, то прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

2) прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A

Рассмотрим окружность с центром в точке C, которая проходит через точку A. По определению, отрезок CA является радиусом этой окружности.

Докажем утверждение методом от противного. Предположим, что прямая AB является касательной к этой окружности в точке A.

Если бы AB была касательной, то по свойству касательной она была бы перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания. В нашем случае это означало бы, что прямая AB перпендикулярна радиусу CA, то есть угол между ними должен быть прямым: $\angle CAB = 90^\circ$.

По условию задачи, в треугольнике ABC угол $\angle C = 90^\circ$. Сумма углов в любом треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника ABC имеем: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.

Если бы наше предположение было верным ($\angle A = \angle CAB = 90^\circ$), то сумма двух углов треугольника ($\angle A$ и $\angle C$) была бы равна $90^\circ + 90^\circ = 180^\circ$. Это означало бы, что третий угол, $\angle B$, равен $0^\circ$, что невозможно для существования треугольника.

Таким образом, мы пришли к противоречию. Следовательно, наше первоначальное предположение неверно, и угол $\angle CAB$ не может быть равен $90^\circ$. А раз радиус CA не перпендикулярен прямой AB в точке A, то прямая AB не является касательной к данной окружности. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

583. Постройте треугольник:

1) по двум сторонам и углу между ними;

2) по стороне и двум прилежащим углам.