Номер 580, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 580, страница 151.

580. Прямая $CD$ касается окружности с центром $O$ в точке $A$, отрезок $AB$ – хорда окружности, $\angle BAD = 35^{\circ}$ (рис. 338). Найдите угол $AOB$.

Поскольку прямая $CD$ является касательной к окружности с центром в точке $O$ в точке $A$, то радиус $OA$, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой касательной. Следовательно, угол между радиусом $OA$ и прямой $CD$ равен $90^\circ$. Таким образом, $\angle OAD = 90^\circ$.

Угол $\angle OAD$ складывается из двух углов: $\angle OAB$ и $\angle BAD$. По условию задачи нам известно, что $\angle BAD = 35^\circ$. Мы можем записать равенство: $\angle OAD = \angle OAB + \angle BAD$. Подставив известные значения, получим: $90^\circ = \angle OAB + 35^\circ$. Из этого уравнения мы можем найти величину угла $\angle OAB$: $\angle OAB = 90^\circ - 35^\circ = 55^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ этого треугольника являются радиусами одной и той же окружности, а значит, они равны: $OA = OB$. Следовательно, треугольник $\triangle AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. В треугольнике $\triangle AOB$ углами при основании являются $\angle OAB$ и $\angle OBA$. Таким образом, $\angle OBA = \angle OAB = 55^\circ$.

Сумма углов в любом треугольнике составляет $180^\circ$. Для треугольника $\triangle AOB$ это можно записать так: $\angle AOB + \angle OAB + \angle OBA = 180^\circ$. Подставим значения найденных углов: $\angle AOB + 55^\circ + 55^\circ = 180^\circ$. $\angle AOB + 110^\circ = 180^\circ$.

Наконец, найдем искомый угол $\angle AOB$: $\angle AOB = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$.

Ответ: $70^\circ$.

580. Начертите:

1) остроугольный треугольник

2) тупоугольный треугольник

Постройте все высоты этого треугольника.