Номер 577, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 577, страница 151.

577. На рисунке 336 точка $O$ — центр окружности, диаметр $CD$ перпендикулярен хорде $AB$. Докажите, что $\angle AOD = \angle BOD$.

Рис. 336

Рассмотрим треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$. Для того чтобы доказать равенство углов $∠AOD$ и $∠BOD$, докажем, что треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$ равны.

1. Сравним стороны $OA$ и $OB$. Обе эти стороны являются радиусами одной и той же окружности с центром в точке $O$. Следовательно, их длины равны: $OA = OB$.

2. Сторона $OD$ является общей для обоих треугольников, $ΔAOD$ и $ΔBOD$.

3. Сравним стороны $AD$ и $BD$. Для этого сначала рассмотрим треугольник $ΔAOB$. Так как $OA = OB$ (как радиусы), то $ΔAOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

Пусть $M$ — точка пересечения диаметра $CD$ и хорды $AB$. По условию задачи, $CD \perp AB$. Это означает, что отрезок $OM$ является высотой, проведенной из вершины $O$ к основанию $AB$ равнобедренного треугольника $AOB$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Следовательно, $M$ — середина отрезка $AB$, то есть $AM = MB$.

Теперь рассмотрим треугольники $ΔAMD$ и $ΔBMD$. Они оба являются прямоугольными, поскольку $CD \perp AB$, а значит $∠AMD = ∠BMD = 90^\circ$. В этих треугольниках катет $AM$ равен катету $MB$ (как доказано выше), а катет $MD$ является общим. Таким образом, $ΔAMD = ΔBMD$ по двум катетам. Из равенства этих треугольников следует равенство их гипотенуз: $AD = BD$.

Итак, мы установили, что для треугольников $ΔAOD$ и $ΔBOD$ выполняются следующие равенства сторон:

$OA = OB$

$OD$ — общая сторона

$AD = BD$

Следовательно, треугольник $ΔAOD$ равен треугольнику $ΔBOD$ по третьему признаку равенства треугольников (по трем сторонам).

Поскольку треугольники $ΔAOD$ и $ΔBOD$ равны, то равны и их соответствующие углы. Значит, $∠AOD = ∠BOD$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $∠AOD = ∠BOD$ доказано.

577. Начертите произвольный угол. Разделите его на четыре равные части.