Номер 579, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 579, страница 151.

579. Прямая AB касается окружности с центром O в точке C (рис. 337). Найдите:

1) угол OCD, если $ \angle BCD = 28^{\circ} $;

2) угол ACD, если $ \angle OCD = 55^{\circ} $.

Рис. 337

1)

Согласно свойству касательной к окружности, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. В нашем случае, радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$ в точке $C$. Это означает, что угол между радиусом $OC$ и касательной $AB$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим угол $ \angle OCB $, который образован радиусом $OC$ и частью касательной $CB$. Его величина составляет $90^\circ$.

$ \angle OCB = 90^\circ $

Из рисунка видно, что угол $ \angle OCB $ состоит из двух углов: $ \angle OCD $ и $ \angle BCD $. Следовательно, можно записать равенство:

$ \angle OCB = \angle OCD + \angle BCD $

По условию задачи, $ \angle BCD = 28^\circ $. Подставим известные значения в уравнение:

$ 90^\circ = \angle OCD + 28^\circ $

Выразим из этого уравнения искомый угол $ \angle OCD $:

$ \angle OCD = 90^\circ - 28^\circ = 62^\circ $

Ответ: $62^\circ$

2)

Как и в предыдущем пункте, воспользуемся свойством о перпендикулярности радиуса и касательной в точке касания. Радиус $OC$ перпендикулярен касательной $AB$, поэтому угол, образованный радиусом и касательной, равен $90^\circ$.

Рассмотрим угол $ \angle OCA $, образованный радиусом $OC$ и частью касательной $CA$:

$ \angle OCA = 90^\circ $

Этот угол, как видно из рисунка, является суммой двух углов: $ \angle OCD $ и $ \angle ACD $.

$ \angle OCA = \angle OCD + \angle ACD $

В условии этого пункта дано, что $ \angle OCD = 55^\circ $. Подставим известные величины:

$ 90^\circ = 55^\circ + \angle ACD $

Найдем неизвестный угол $ \angle ACD $:

$ \angle ACD = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ $

Ответ: $35^\circ$

579. Постройте угол, равный:

1) $30^\circ$

2) $22^\circ 30'$

3) $15^\circ$