Номер 581, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 581, страница 152.

581. Прямая CD касается окружности с центром O в точке A, отрезок AB — хорда окружности, $\angle AOB = 80^\circ$ (см. рис. 338). Найдите угол BAC.

Рис. 338

Рассмотрим треугольник $AOB$. Поскольку $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности с центром в точке $O$, то их длины равны: $OA = OB$. Это означает, что треугольник $AOB$ является равнобедренным с основанием $AB$.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle OAB = \angle OBA$.
Сумма углов любого треугольника составляет $180°$. Для треугольника $AOB$ имеем:$\angle OAB + \angle OBA + \angle AOB = 180°$
По условию задачи, центральный угол $\angle AOB = 80°$. Подставив это значение в формулу, получим:$2 \cdot \angle OAB + 80° = 180°$
$2 \cdot \angle OAB = 180° - 80°$
$2 \cdot \angle OAB = 100°$
$\angle OAB = \frac{100°}{2} = 50°$

Прямая $CD$ касается окружности в точке $A$. По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, радиус $OA$ перпендикулярен прямой $CD$, и угол между ними составляет $90°$. Из рисунка видно, что $\angle OAD = 90°$.
Угол $\angle OAD$ состоит из двух углов: $\angle OAB$ и $\angle BAD$. То есть:$\angle OAD = \angle OAB + \angle BAD$
Подставим известные значения углов:$90° = 50° + \angle BAD$
Отсюда можем найти угол $\angle BAD$:$\angle BAD = 90° - 50° = 40°$

Точки $C$, $A$ и $D$ лежат на одной прямой, образуя развернутый угол $\angle CAD = 180°$. Этот угол состоит из суммы углов $\angle BAC$ и $\angle BAD$:$\angle BAC + \angle BAD = 180°$
Теперь мы можем найти искомый угол $\angle BAC$:$\angle BAC = 180° - \angle BAD = 180° - 40° = 140°$

Ответ: $140°$.

581. Начертите треугольник $ABC$. Постройте его:

1) высоту $AM$;

2) медиану $BD$;

3) биссектрису $CK$.