Номер 582, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 582, страница 152.

582. Дана окружность, диаметр которой равен 6 см. Прямая $a$ удалена от её центра на:

1) 2 см;

2) 3 см;

3) 6 см.

В каком случае прямая $a$ является касательной к окружности?

Для решения задачи сначала необходимо найти радиус окружности. По условию, диаметр окружности $D$ равен 6 см. Радиус $r$ равен половине диаметра:

$r = \frac{D}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Взаимное расположение прямой и окружности зависит от соотношения между расстоянием от центра окружности до прямой (обозначим его $d$) и радиусом окружности $r$.

• Если $d < r$, прямая пересекает окружность в двух точках (является секущей).
• Если $d = r$, прямая касается окружности в одной точке (является касательной).
• Если $d > r$, прямая не имеет общих точек с окружностью.

Теперь рассмотрим каждый из предложенных случаев.

1) Расстояние от центра до прямой a равно 2 см.

В этом случае $d = 2$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d < r$, так как $2 \text{ см} < 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a пересекает окружность в двух точках.

Ответ: прямая пересекает окружность.

2) Расстояние от центра до прямой a равно 3 см.

В этом случае $d = 3$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d = r$, так как $3 \text{ см} = 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a является касательной к окружности.

Ответ: прямая является касательной к окружности.

3) Расстояние от центра до прямой a равно 6 см.

В этом случае $d = 6$ см. Сравниваем это расстояние с радиусом: $d > r$, так как $6 \text{ см} > 3 \text{ см}$. Следовательно, прямая a не имеет общих точек с окружностью.

Ответ: прямая не имеет общих точек с окружностью.

Таким образом, отвечая на вопрос "В каком случае прямая a является касательной к окружности?", мы выбираем случай, когда расстояние от прямой до центра равно радиусу.

Ответ: прямая a является касательной к окружности, когда она удалена от ее центра на 3 см (случай 2).

582. Через данную точку, не принадлежащую данной прямой, проведите прямую, параллельную данной.