Номер 7, страница 151 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Вопросы. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 7, страница 151.

7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?

Касательные, проведённые к окружности через одну точку, лежащую вне окружности, обладают следующим свойством:

Свойство: отрезки касательных, проведённые из одной точки к окружности, равны между собой. Кроме того, прямая, соединяющая эту точку с центром окружности, является биссектрисой угла, образованного касательными.

Доказательство:

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Возьмём точку $A$, лежащую вне этой окружности. Проведём из точки $A$ две касательные к окружности, которые касаются её в точках $B$ и $C$. Нам необходимо доказать, что отрезки $AB$ и $AC$ равны, то есть $AB = AC$.

1. Соединим центр окружности $O$ с точками касания $B$ и $C$, а также с точкой $A$. В результате получим два треугольника: $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$.

2. Рассмотрим эти треугольники. Согласно свойству касательной, радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, углы $\angle OBA$ и $\angle OCA$ являются прямыми: $\angle OBA = \angle OCA = 90^\circ$. Таким образом, треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ являются прямоугольными.

3. В этих прямоугольных треугольниках:

• Катеты $OB$ и $OC$ равны, так как они являются радиусами одной и той же окружности ($OB = OC = r$).
• Гипотенуза $OA$ является общей стороной для обоих треугольников.

4. Поскольку прямоугольные треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ имеют равные катеты ($OB=OC$) и общую гипотенузу ($OA$), они равны по признаку равенства прямоугольных треугольников (по гипотенузе и катету).

5. Из равенства треугольников ($\triangle OBA \cong \triangle OCA$) следует равенство их соответствующих элементов. В частности, равны их катеты $AB$ и $AC$, то есть $AB = AC$. Также равны и углы $\angle BAO$ и $\angle CAO$, что доказывает, что луч $AO$ является биссектрисой угла $\angle BAC$.

Таким образом, свойство полностью доказано.

Ответ: Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны между собой.

7. Каким свойством обладают касательные, проведённые к окружности через одну точку?