Номер 572, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 572, страница 147.

572. На рисунке 328 прямоугольник ABCD составлен из квадратов. Найдите сторону самого большого квадрата, если сторона самого маленького квадрата равна 1.

Рис. 328

Для решения задачи обозначим стороны шести квадратов, из которых состоит прямоугольник, переменными. Будем исходить из топологии их расположения на рисунке.

Прямоугольник разделен на верхний и нижний ряды. В верхнем ряду находятся два квадрата. Обозначим сторону левого верхнего квадрата как $x$, а правого верхнего — как $y$.

Нижний ряд состоит из четырех квадратов. Обозначим их стороны слева направо: $a, c, d, b$.

Согласно условию, сторона самого маленького квадрата равна 1. По рисунку видно, что самый маленький квадрат — это $d$. Таким образом, $d=1$.

Теперь составим систему уравнений, исходя из геометрии рисунка:

1. Вертикальная линия, разделяющая верхние квадраты $x$ и $y$, продолжается вниз и разделяет нижние квадраты. Это означает, что квадрат $x$ расположен над квадратами $a$ и $c$, а квадрат $y$ — над квадратами $d$ и $b$.
   Отсюда следуют соотношения для ширин:
   $x = a + c$
   $y = d + b$
2. Горизонтальная линия под квадратом $x$ является общей верхней стороной для квадратов $a$ и $c$. Это возможно только если высоты (а значит и стороны) этих квадратов равны.
   $a = c$
3. Аналогично, горизонтальная линия под квадратом $y$ является общей верхней стороной для квадратов $d$ и $b$. Следовательно, их стороны равны.
   $d = b$
4. Высота прямоугольника $ABCD$ одинакова по всей длине. Высота левой стороны равна сумме стороны верхнего квадрата $x$ и нижнего $a$. Высота правой стороны равна сумме стороны верхнего квадрата $y$ и нижнего $b$.
   $H = x + a = y + b$

Теперь решим полученную систему уравнений:

Из условия мы знаем, что сторона самого маленького квадрата равна 1. Мы обозначили его как $d$.
Итак, $d = 1$.

Из уравнения $d = b$ следует, что $b = 1$.

Теперь найдем сторону $y$ из уравнения $y = d + b$:
$y = 1 + 1 = 2$.

Подставим известные значения в уравнение для высоты $x + a = y + b$:
$x + a = 2 + 1$
$x + a = 3$.

Используем соотношения $a=c$ и $x = a + c$:
$x = a + a = 2a$.

Теперь подставим выражение для $x$ в уравнение $x + a = 3$:
$2a + a = 3$
$3a = 3$
$a = 1$.

Так как $a = c$, то $c = 1$.

И, наконец, найдем $x$:
$x = 2a = 2 \cdot 1 = 2$.

Таким образом, мы нашли стороны всех шести квадратов:

• Сторона левого верхнего квадрата: $x = 2$.
• Сторона правого верхнего квадрата: $y = 2$.
• Стороны четырех нижних квадратов: $a=1, c=1, d=1, b=1$.

Все стороны равны либо 1, либо 2. Самый маленький квадрат действительно имеет сторону 1 (в данном случае их оказалось несколько). Самый большой квадрат имеет сторону 2.

Ответ: 2.

572. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AM$ и $CK$ – медианы этого треугольника. Докажите, что $MK \parallel AC$.