Номер 568, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 568, страница 147.

568. В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ проведены биссектрисы $AD$ и $CE$. Докажите, что $AE = ED$.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По условию, боковые стороны равны, то есть $AB = BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle BAC = \angle BCA$.

В треугольнике проведены биссектрисы $AD$ (угла $\angle BAC$) и $CE$ (угла $\angle BCA$).

Для доказательства равенства отрезков $AE$ и $ED$ докажем, что треугольник $ADE$ является равнобедренным с основанием $AD$. Для этого необходимо показать, что углы при его основании равны, то есть $\angle DAE = \angle ADE$.

Шаг 1: Анализ угла $\angle DAE$.

По определению, биссектриса $AD$ делит угол $\angle BAC$ на два равных угла: $\angle BAD = \angle DAC$. Угол $\angle DAE$ является тем же углом, что и $\angle DAC$. Таким образом, $\angle DAE = \frac{1}{2} \angle BAC$.

Шаг 2: Доказательство параллельности $ED$ и $AC$.

Воспользуемся свойством биссектрисы угла треугольника, которое гласит, что биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Применим это свойство для биссектрисы $CE$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{BC}$

Теперь применим это свойство для биссектрисы $AD$ в треугольнике $ABC$:

$\frac{CD}{DB} = \frac{AC}{AB}$

Так как по условию треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC$, его боковые стороны равны: $AB = BC$. Следовательно, правые части полученных пропорций равны.

$\frac{AC}{BC} = \frac{AC}{AB}$

Это означает, что и левые части пропорций также равны:

$\frac{AE}{EB} = \frac{CD}{DB}$

Перепишем это соотношение в виде $\frac{BE}{AE} = \frac{BD}{CD}$.

Согласно теореме, обратной теореме о пропорциональных отрезках (теореме Фалеса), если прямая пересекает две стороны треугольника и отсекает от них пропорциональные отрезки, считая от общей вершины, то эта прямая параллельна третьей стороне. В нашем случае прямая $ED$ делит стороны $AB$ и $BC$ пропорционально, следовательно, $ED \parallel AC$.

Шаг 3: Анализ угла $\angle ADE$.

Мы доказали, что $ED \parallel AC$. Рассмотрим эти параллельные прямые и секущую $AD$. Накрест лежащие углы при пересечении параллельных прямых секущей равны. Следовательно, $\angle ADE = \angle DAC$.

Шаг 4: Заключение.

На основе предыдущих шагов мы получили:

1. $\angle DAE = \angle DAC$ (по определению биссектрисы).

2. $\angle ADE = \angle DAC$ (как накрест лежащие углы при $ED \parallel AC$ и секущей $AD$).

Отсюда следует, что $\angle DAE = \angle ADE$.

Поскольку в треугольнике $ADE$ два угла равны, он является равнобедренным. Стороны, лежащие напротив равных углов, равны. В данном случае это стороны $AE$ и $ED$.

Таким образом, $AE = ED$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AE = ED$ доказано.

568. Точки $F$ и $O$ – центры вписанной и описанной окружностей равнобедренного треугольника $ABC$ соответственно (рис. 310). Они находятся на одинаковом расстоянии от его основания $AC$. Найдите углы треугольника $ABC$.

Рис. 310