Номер 570, страница 147 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 20. Геометрическое место точек. Окружность и круг. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 570, страница 147.

570. На стороне $AB$ треугольника $ABC$ отметили точку $M$ так, что $BM = CM$, луч $MK$ – биссектриса угла $AMC$. Докажите, что $MK \parallel BC$.

Рассмотрим треугольник $BMC$. Поскольку по условию задачи $BM = CM$, данный треугольник является равнобедренным с основанием $BC$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, $\angle MBC = \angle MCB$.

Угол $AMC$ является внешним углом треугольника $BMC$ при вершине $M$, так как он смежен с внутренним углом $\angle BMC$ (поскольку точки $A$, $M$, $B$ лежат на одной прямой).

По свойству внешнего угла треугольника, его мера равна сумме двух внутренних углов, не смежных с ним. Таким образом, $\angle AMC = \angle MBC + \angle MCB$.

Так как $\angle MBC = \angle MCB$, мы можем записать: $\angle AMC = 2 \cdot \angle MCB$.

По условию, луч $MK$ является биссектрисой угла $AMC$. Это означает, что он делит угол пополам: $\angle KMC = \frac{1}{2} \angle AMC$.

Подставим в это равенство выражение для угла $AMC$, полученное ранее:$\angle KMC = \frac{1}{2} (2 \cdot \angle MCB) = \angle MCB$.

Мы получили, что углы $\angle KMC$ и $\angle MCB$ равны. Эти углы являются накрест лежащими при пересечении прямых $MK$ и $BC$ секущей $MC$.

Согласно признаку параллельности прямых, если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то такие прямые параллельны. Следовательно, $MK \parallel BC$.

Ответ: Доказано, что $MK \parallel BC$.

570. В равнобедренном треугольнике из вершины одного угла при основании провели высоту треугольника, а из вершины другого угла при основании – биссектрису треугольника. Один из углов, образовавшихся при пересечении проведённых биссектрисы и высоты, равен 64°. Найдите углы данного треугольника.