Номер 590, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 590, страница 152.

590. В окружности провели диаметр $AB$ и хорды $AC$ и $CD$ так, что $AC = 12$ см, $\angle BAC = 30^\circ$, $AB \perp CD$. Найдите длину хорды $CD$.

1. Рассмотрим треугольник $ACB$. Так как $AB$ — диаметр окружности, то вписанный угол $∠ACB$, опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, $∠ACB = 90°$, и треугольник $ACB$ — прямоугольный.

2. В прямоугольном треугольнике $ACB$ известны катет $AC = 12$ см и прилежащий острый угол $∠BAC = 30°$. Мы можем найти длину гипотенузы $AB$ (диаметра окружности) через косинус этого угла:
$cos(∠BAC) = \frac{AC}{AB}$
$AB = \frac{AC}{cos(30°)} = \frac{12}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{24}{\sqrt{3}} = \frac{24\sqrt{3}}{3} = 8\sqrt{3}$ см.

3. Теперь найдем длину второго катета $BC$, используя тангенс угла $∠BAC$:
$tan(∠BAC) = \frac{BC}{AC}$
$BC = AC \cdot tan(30°) = 12 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{12}{\sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

4. Пусть $H$ — точка пересечения диаметра $AB$ и хорды $CD$. По условию $AB \perp CD$, значит, отрезок $CH$ является высотой прямоугольного треугольника $ACB$, проведенной из вершины прямого угла к гипотенузе.

5. Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить как половину произведения катетов или как половину произведения гипотенузы на высоту, проведенную к ней.
$S_{ACB} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CH$
Приравняем правые части:
$AC \cdot BC = AB \cdot CH$
Подставим известные значения и найдем длину высоты $CH$:
$12 \cdot 4\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot CH$
$48\sqrt{3} = 8\sqrt{3} \cdot CH$
$CH = \frac{48\sqrt{3}}{8\sqrt{3}} = 6$ см.

6. Согласно свойству окружности, диаметр, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. Так как $AB \perp CD$, то точка $H$ является серединой хорды $CD$.
Следовательно, $CD = 2 \cdot CH$.
$CD = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Ответ: 12 см.

590. Постройте прямоугольный треугольник:

1) по двум катетам;

2) по гипотенузе и острому углу;

3) по катету и прилежащему острому углу.