Номер 592, страница 152 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 21. Некоторые свойства окружности. Касательная к окружности. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 592, страница 152.

592. Через точку M к окружности с центром O провели касательные MA и MB, A и B – точки касания, $\angle OAB = 20^\circ$. Найдите угол $\angle AMB$.

Рассмотрим треугольник $OAB$. Так как $OA$ и $OB$ являются радиусами одной и той же окружности, то $OA = OB$. Следовательно, треугольник $OAB$ является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. По условию $∠OAB = 20°$, значит, $∠OBA = ∠OAB = 20°$.

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Таким образом, $OA ⊥ MA$. Это означает, что угол $∠OAM$ является прямым, то есть $∠OAM = 90°$.

Угол $∠OAM$ состоит из двух углов: $∠OAB$ и $∠MAB$. Отсюда мы можем найти величину угла $∠MAB$:

$∠MAB = ∠OAM - ∠OAB = 90° - 20° = 70°$.

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны между собой. Следовательно, $MA = MB$. Это означает, что треугольник $AMB$ также является равнобедренным с основанием $AB$.

В равнобедренном треугольнике $AMB$ углы при основании равны: $∠MBA = ∠MAB = 70°$.

Сумма углов в любом треугольнике равна $180°$. Для треугольника $AMB$ это записывается как:

$∠AMB + ∠MAB + ∠MBA = 180°$

Подставим найденные значения углов в это уравнение:

$∠AMB + 70° + 70° = 180°$

$∠AMB + 140° = 180°$

$∠AMB = 180° - 140° = 40°$.

Ответ: 40°.

592. Постройте равнобедренный треугольник:

1) по боковой стороне и углу при вершине;

2) по высоте, опущенной на основание, и углу при вершине;

3) по основанию и медиане, проведённой к основанию;

4) по основанию и высоте, проведённой к боковой стороне.