Страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

615. На каком из рисунков 349, а, б, в, изображена окружность, вписанная в треугольник?

Рис. 349

а

б

в

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон. Центр такой окружности — это точка пересечения биссектрис углов треугольника.

Проанализируем каждый из предложенных рисунков:

а) На этом рисунке окружность касается только двух сторон треугольника (правой боковой и основания). Левая боковая сторона не имеет точки касания с окружностью. Следовательно, эта окружность не является вписанной.

б) На этом рисунке окружность касается каждой из трех сторон треугольника ровно в одной точке. Это полностью соответствует определению окружности, вписанной в треугольник.

в) На этом рисунке окружность находится внутри треугольника, но не касается ни одной из его сторон. Такая окружность не является вписанной.

Таким образом, единственным рисунком, на котором изображена вписанная в треугольник окружность, является рисунок б.

Ответ: б.

615. Постройте треугольник, если даны три точки, в которых вписанная окружность касается его сторон.

616. Точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$ (рис. 350). Найдите углы этого треугольника, если $\angle ABO = 38^{\circ}$, $\angle BCO = 22^{\circ}$.

Рис. 350

Поскольку точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC, она представляет собой точку пересечения биссектрис углов этого треугольника. Таким образом, отрезки AO, BO и CO являются биссектрисами углов A, B и C соответственно.

Нахождение угла B

Так как отрезок BO является биссектрисой угла ABC, он делит этот угол на два равных угла: $ \angle ABO = \angle CBO $. Из условия задачи нам известно, что $ \angle ABO = 38^\circ $. Следовательно, величина всего угла B составляет: $ \angle B = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 38^\circ = 76^\circ $.

Нахождение угла C

Аналогично, отрезок CO является биссектрисой угла ACB, поэтому $ \angle BCO = \angle ACO $. По условию, $ \angle BCO = 22^\circ $. Следовательно, величина всего угла C составляет: $ \angle C = 2 \cdot \angle BCO = 2 \cdot 22^\circ = 44^\circ $.

Нахождение угла A

Сумма всех углов в любом треугольнике равна $ 180^\circ $. Для треугольника ABC справедливо равенство: $ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $. Подставив уже найденные значения углов B и C, получим: $ \angle A + 76^\circ + 44^\circ = 180^\circ $ $ \angle A + 120^\circ = 180^\circ $ $ \angle A = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Ответ: Углы треугольника ABC равны $ 60^\circ $, $ 76^\circ $ и $ 44^\circ $.

616. Как разделить на три равные части угол, равный $54^\circ$?

617. Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC (см. рис. 350). Найдите угол $ABO$, если $\angle BAC = 64^{\circ}$, $\angle ACB = 46^{\circ}$.

Рис. 350

Сумма углов в треугольнике ABC равна $180^\circ$. Зная два угла, мы можем найти третий, угол $\angle ABC$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)$

Подставляем известные значения углов:

$\angle ABC = 180^\circ - (64^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок BO является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, чтобы найти угол $\angle ABO$, нужно разделить угол $\angle ABC$ пополам:

$\angle ABO = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$

617. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AE$ и $CF$ – биссектрисы этого треугольника. Докажите, что $EF \parallel AC$.

618. Докажите, что центр описанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит прямой, которая содержит медиану, проведённую к его основанию.

Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. По определению, боковые стороны равны: $AB = BC$. Проведём медиану $BM$ к основанию $AC$. По определению медианы, точка $M$ является серединой стороны $AC$, то есть $AM = MC$.

Центр описанной окружности, обозначим его точкой $O$, — это точка, равноудалённая от всех вершин треугольника. Следовательно, расстояния от точки $O$ до вершин $A$, $B$ и $C$ равны: $OA = OB = OC$.

Рассмотрим равенство $OA = OC$. Оно означает, что точка $O$ равноудалена от вершин $A$ и $C$. Геометрическим местом точек, равноудалённых от концов отрезка, является его серединный перпендикуляр. Таким образом, точка $O$ должна лежать на серединном перпендикуляре к стороне $AC$.

Теперь рассмотрим медиану $BM$. Согласно свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к его основанию, является также высотой и биссектрисой. То, что $BM$ является высотой, означает, что она перпендикулярна основанию: $BM \perp AC$.

Поскольку прямая, содержащая медиану $BM$, проходит через середину $M$ стороны $AC$ и перпендикулярна этой стороне, она по определению является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Мы установили, что центр описанной окружности $O$ лежит на серединном перпендикуляре к стороне $AC$. Мы также показали, что прямая, содержащая медиану $BM$, и есть этот серединный перпендикуляр. Следовательно, центр описанной окружности $O$ принадлежит прямой, которая содержит медиану $BM$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

618. Определите углы треугольника $ABC$, если:

1) $\angle A + \angle B = 110^\circ$, а $\angle A + \angle C = 85^\circ$;

2) $\angle C - \angle A = 29^\circ$, а $\angle A + \angle C = 121^\circ$.

619. Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.

Дано:
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Пусть $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.
Пусть $BH$ — высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$ ($BH \perp AC$).

Доказать:
Центр вписанной окружности $I$ принадлежит высоте $BH$.

Доказательство:
1. По определению, центр вписанной в треугольник окружности (также называемый инцентром) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, угла $\angle C$ и, что ключевое для нашей задачи, на биссектрисе угла $\angle ABC$.
2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный с основанием $AC$, то высота $BH$, проведённая к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является также его медианой (делит основание $AC$ пополам) и биссектрисой угла при вершине $\angle ABC$.
3. Таким образом, мы имеем два утверждения:
- Точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.
- Высота $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.
4. Поскольку и точка $I$, и отрезок $BH$ лежат на одной и той же прямой — биссектрисе угла $\angle ABC$, — то точка $I$ принадлежит отрезку $BH$.
Следовательно, центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и биссектрисой. Так как центр вписанной окружности должен лежать на этой биссектрисе, он, следовательно, лежит и на высоте.

619. Серединный перпендикуляр гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.

620. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$, если $\angle AMN = 35^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $AMN$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. В данном случае, $AM$ и $AN$ являются отрезками касательных, проведенных из точки $A$ к вписанной окружности. Следовательно, $AM = AN$.

Так как две стороны треугольника $AMN$ равны ($AM = AN$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $MN$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle ANM = \angle AMN$.

По условию задачи дано, что $\angle AMN = 35^\circ$. Следовательно, $\angle ANM$ также равен $35^\circ$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для треугольника $AMN$ это записывается так:

$\angle A + \angle AMN + \angle ANM = 180^\circ$

Подставим известные значения углов, чтобы найти угол $A$:

$\angle A + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ$

$\angle A + 70^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 70^\circ$

$\angle A = 110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.

620. Внешний угол треугольника больше одного из углов треугольника, не смежного с ним:

1) на $60^\circ$, а другого – на $40^\circ$;

2) на $25^\circ$, а другого – на $35^\circ$.

Определите вид треугольника.

621. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите угол $ADE$, если $\angle B = 50^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BDE$. Отрезки $BD$ и $BE$ являются отрезками касательных, проведенных из одной точки $B$ к вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $BD = BE$.

Следовательно, треугольник $BDE$ является равнобедренным с основанием $DE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BDE = \angle BED$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BDE$ имеем:

$\angle B + \angle BDE + \angle BED = 180^\circ$

Так как $\angle BDE = \angle BED$ и нам дано, что $\angle B = 50^\circ$, мы можем найти углы при основании:

$50^\circ + 2 \cdot \angle BDE = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BDE = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle BDE = 130^\circ$

$\angle BDE = 130^\circ / 2 = 65^\circ$

Точка $D$ является точкой касания на стороне $AB$. Это означает, что точки $A$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDE$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$

Отсюда мы можем найти искомый угол $\angle ADE$:

$\angle ADE = 180^\circ - \angle BDE$

$\angle ADE = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$

Ответ: $115^\circ$.

621. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.

622. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 351), касается его сторон в точках $M, K$ и $E$, $BK = 2$ см, $KC = 4$ см, $AM = 8$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Рис. 351

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенных из одной вершины к точкам касания, равны.

Рассмотрим вершины треугольника $ABC$:

1. Из вершины $A$ проведены касательные к точкам $M$ и $E$. Следовательно, $AE = AM$. По условию $AM = 8$ см, значит, $AE = 8$ см.

2. Из вершины $B$ проведены касательные к точкам $M$ и $K$. Следовательно, $BM = BK$. По условию $BK = 2$ см, значит, $BM = 2$ см.

3. Из вершины $C$ проведены касательные к точкам $K$ и $E$. Следовательно, $CE = CK$. По условию $KC = 4$ см, значит, $CE = 4$ см.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника $ABC$:

- Сторона $AB$ является суммой отрезков $AM$ и $BM$:
$AB = AM + BM = 8 \text{ см} + 2 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

- Сторона $BC$ является суммой отрезков $BK$ и $KC$:
$BC = BK + KC = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

- Сторона $AC$ является суммой отрезков $AE$ и $CE$:
$AC = AE + CE = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Найдем периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 \text{ см} + 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Ответ: 28 см.

622. Даны прямая $m$ и точки $A$ и $B$ вне её (рис. 333).

Постройте на прямой $m$ точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$.

Рис. 333