Номер 620, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 620, страница 159.

620. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$ и $AC$ в точках $M$ и $N$ соответственно. Найдите угол $A$, если $\angle AMN = 35^{\circ}$.

Рассмотрим треугольник $AMN$.

По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки к окружности, отрезки касательных от вершины треугольника до точек касания равны. В данном случае, $AM$ и $AN$ являются отрезками касательных, проведенных из точки $A$ к вписанной окружности. Следовательно, $AM = AN$.

Так как две стороны треугольника $AMN$ равны ($AM = AN$), то этот треугольник является равнобедренным с основанием $MN$.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит, $\angle ANM = \angle AMN$.

По условию задачи дано, что $\angle AMN = 35^\circ$. Следовательно, $\angle ANM$ также равен $35^\circ$.

Сумма углов любого треугольника составляет $180^\circ$. Для треугольника $AMN$ это записывается так:

$\angle A + \angle AMN + \angle ANM = 180^\circ$

Подставим известные значения углов, чтобы найти угол $A$:

$\angle A + 35^\circ + 35^\circ = 180^\circ$

$\angle A + 70^\circ = 180^\circ$

$\angle A = 180^\circ - 70^\circ$

$\angle A = 110^\circ$

Ответ: $110^\circ$.

620. Внешний угол треугольника больше одного из углов треугольника, не смежного с ним:

1) на $60^\circ$, а другого – на $40^\circ$;

2) на $25^\circ$, а другого – на $35^\circ$.

Определите вид треугольника.