Номер 621, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 621, страница 159.

621. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$, касается его сторон $AB$ и $BC$ в точках $D$ и $E$ соответственно. Найдите угол $ADE$, если $\angle B = 50^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BDE$. Отрезки $BD$ и $BE$ являются отрезками касательных, проведенных из одной точки $B$ к вписанной окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки, их длины равны: $BD = BE$.

Следовательно, треугольник $BDE$ является равнобедренным с основанием $DE$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle BDE = \angle BED$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Для треугольника $BDE$ имеем:

$\angle B + \angle BDE + \angle BED = 180^\circ$

Так как $\angle BDE = \angle BED$ и нам дано, что $\angle B = 50^\circ$, мы можем найти углы при основании:

$50^\circ + 2 \cdot \angle BDE = 180^\circ$

$2 \cdot \angle BDE = 180^\circ - 50^\circ$

$2 \cdot \angle BDE = 130^\circ$

$\angle BDE = 130^\circ / 2 = 65^\circ$

Точка $D$ является точкой касания на стороне $AB$. Это означает, что точки $A$, $D$ и $B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle ADE$ и $\angle BDE$ являются смежными, так как они вместе образуют развернутый угол на прямой $AB$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.

$\angle ADE + \angle BDE = 180^\circ$

Отсюда мы можем найти искомый угол $\angle ADE$:

$\angle ADE = 180^\circ - \angle BDE$

$\angle ADE = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$

Ответ: $115^\circ$.

621. На листе бумаги нарисовали равносторонний треугольник и полностью накрыли его двумя другими равносторонними треугольниками разных размеров. Докажите, что для покрытия хватило бы одного из этих треугольников.