Номер 626, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 626, страница 160.

626. Через центр $O$ окружности, описанной около треугольника $ABC$, провели прямую, перпендикулярную стороне $AC$ и пересекающую сторону $AB$ в точке $M$. Докажите, что $AM = MC$.

Рассмотрим треугольник $AOC$, где $O$ — центр описанной окружности, а $A$ и $C$ — вершины исходного треугольника $ABC$.

По определению описанной окружности, её центр равноудален от всех вершин треугольника. Следовательно, отрезки $OA$ и $OC$ равны как радиусы одной и той же окружности: $OA = OC$.

Это означает, что треугольник $AOC$ является равнобедренным с основанием $AC$.

По условию задачи, через центр $O$ проведена прямая, перпендикулярная стороне $AC$. Обозначим эту прямую как $l$. Пусть $K$ — точка пересечения прямой $l$ и стороны $AC$. Тогда $OK$ является высотой в равнобедренном треугольнике $AOC$, проведенной к основанию $AC$.

В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также и медианой. Это значит, что точка $K$ — середина отрезка $AC$.

Таким образом, прямая $l$ проходит через середину отрезка $AC$ и перпендикулярна ему. По определению, прямая $l$ является серединным перпендикуляром к отрезку $AC$.

Точка $M$, по условию, принадлежит прямой $l$ (так как $l$ пересекает $AB$ в точке $M$).

Любая точка, лежащая на серединном перпендикуляре к отрезку, равноудалена от концов этого отрезка. Поскольку точка $M$ лежит на серединном перпендикуляре к $AC$, то она равноудалена от точек $A$ и $C$.

Следовательно, $AM = MC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $AM = MC$ доказано.

626. Постройте равнобедренный треугольник по основанию и боковой стороне.