Номер 627, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 627, страница 160.

627. Через центр $O$ окружности, вписанной в треугольник $ABC$, провели прямую $AO$, пересекающую сторону $BC$ в точке $M$. Докажите, что точка $M$ равноудалена от лучей $AB$ и $AC$.

По определению, центр окружности, вписанной в треугольник (инцентр), является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. По условию, точка $O$ — центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$.

Следовательно, точка $O$ принадлежит всем трём биссектрисам треугольника $ABC$. В частности, $O$ лежит на биссектрисе угла $BAC$.

Прямая $AO$, проходящая через вершину угла $A$ и точку $O$, лежащую на биссектрисе этого угла, совпадает с этой биссектрисой. Таким образом, прямая $AO$ является биссектрисой угла $BAC$.

Из условия задачи известно, что точка $M$ — это точка пересечения прямой $AO$ и стороны $BC$. Это означает, что точка $M$ лежит на прямой $AO$, а значит, и на биссектрисе угла $BAC$.

Согласно свойству биссектрисы угла, любая точка, лежащая на биссектрисе, равноудалена от сторон этого угла.

Поскольку точка $M$ лежит на биссектрисе угла $BAC$, она равноудалена от его сторон, то есть от лучей $AB$ и $AC$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Точка $M$ лежит на прямой $AO$, которая является биссектрисой угла $BAC$, поэтому она равноудалена от сторон этого угла — лучей $AB$ и $AC$.

627. Для данной окружности постройте точку, являющуюся её центром.