Номер 624, страница 160 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 624, страница 160.

624. Докажите, что центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Пусть дан равносторонний треугольник $ABC$. По определению, в равностороннем треугольнике все стороны равны ($AB = BC = CA$) и все углы равны ($ \angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ $).

Центр описанной окружности треугольника — это точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Нам нужно доказать, что эта точка совпадает с точкой пересечения биссектрис треугольника $ABC$.

Проведем из вершины $A$ биссектрису $AM$ к стороне $BC$. Рассмотрим треугольники $\triangle ABM$ и $\triangle ACM$.

В этих треугольниках:

1. Сторона $AB = AC$ (так как $\triangle ABC$ — равносторонний).

2. Углы $\angle BAM = \angle CAM$ (так как $AM$ — биссектриса угла $A$).

3. Сторона $AM$ — общая.

Следовательно, $\triangle ABM \cong \triangle ACM$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство их соответствующих элементов. Значит, $BM = CM$, что означает, что биссектриса $AM$ является также и медианой. Кроме того, $\angle AMB = \angle AMC$. Поскольку эти углы смежные, их сумма равна $180^\circ$. Следовательно, $\angle AMB = \angle AMC = 180^\circ / 2 = 90^\circ$. Это означает, что $AM$ является также и высотой.

Поскольку отрезок $AM$ перпендикулярен стороне $BC$ и делит ее пополам в точке $M$, то $AM$ является серединным перпендикуляром к стороне $BC$.

Аналогичные рассуждения можно провести для биссектрис, проведенных из вершин $B$ и $C$. Каждая из них будет являться одновременно медианой, высотой и серединным перпендикуляром к соответствующей стороне.

Таким образом, в равностороннем треугольнике биссектрисы совпадают с серединными перпендикулярами. Точка пересечения серединных перпендикуляров (центр описанной окружности) и точка пересечения биссектрис — это одна и та же точка.

Следовательно, центр описанной окружности равностороннего треугольника является точкой пересечения его биссектрис.

Ответ: Что и требовалось доказать.

624. Точки $B$ и $C$ принадлежат разным сторонам угла $A$, причём $AB \neq AC$. Постройте точку $M$, принадлежащую углу, равноудалённую от его сторон и такую, что $MB = MC$.