Номер 617, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 617, страница 159.

617. Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC (см. рис. 350). Найдите угол $ABO$, если $\angle BAC = 64^{\circ}$, $\angle ACB = 46^{\circ}$.

Рис. 350

Сумма углов в треугольнике ABC равна $180^\circ$. Зная два угла, мы можем найти третий, угол $\angle ABC$.

$\angle ABC = 180^\circ - (\angle BAC + \angle ACB)$

Подставляем известные значения углов:

$\angle ABC = 180^\circ - (64^\circ + 46^\circ) = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ$

Точка O — центр окружности, вписанной в треугольник ABC. По определению, центр вписанной окружности является точкой пересечения биссектрис углов треугольника. Следовательно, отрезок BO является биссектрисой угла $\angle ABC$.

Биссектриса делит угол на два равных угла. Таким образом, чтобы найти угол $\angle ABO$, нужно разделить угол $\angle ABC$ пополам:

$\angle ABO = \frac{\angle ABC}{2} = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ$

Ответ: $35^\circ$

617. В треугольнике $ABC$ известно, что $AB = BC$, $AE$ и $CF$ – биссектрисы этого треугольника. Докажите, что $EF \parallel AC$.