Номер 612, страница 158 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 612, страница 158.

612. Начертите разносторонний треугольник.

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

Для решения этой задачи сначала необходимо начертить произвольный разносторонний треугольник, то есть треугольник, у которого все стороны имеют разную длину. Обозначим его вершины буквами A, B и C.

(На рисунке представлен пример выполнения всех шагов)

1) Пользуясь линейкой и транспортиром, найдите центр окружности, вписанной в данный треугольник.

Центр вписанной в треугольник окружности (инцентр) является точкой пересечения его биссектрис. Чтобы найти эту точку, достаточно построить две биссектрисы.

1. С помощью транспортира измерьте один из углов треугольника, например, угол A ($\angle BAC$). Пусть его величина равна $\alpha$.
2. Вычислите половину этого угла: $\alpha/2$.
3. Приложите транспортир к вершине A и стороне AC. Отметьте точку, соответствующую углу $\alpha/2$.
4. С помощью линейки проведите луч из вершины A через отмеченную точку. Этот луч будет биссектрисой угла A.
5. Повторите те же действия для другого угла, например, угла B ($\angle ABC$). Измерьте его величину $\beta$, вычислите $\beta/2$ и постройте его биссектрису.
6. Точка пересечения построенных биссектрис (обозначим ее O) и будет являться центром вписанной окружности. Для проверки можно построить биссектрису третьего угла C — она также должна пройти через точку O.

Ответ: Центр вписанной окружности — это точка O, полученная в результате пересечения двух (или трех) биссектрис углов треугольника.

2) Пользуясь угольником, найдите точки касания вписанной окружности со сторонами треугольника.

Точки касания — это основания перпендикуляров, опущенных из центра вписанной окружности (точки O) на стороны треугольника. Расстояние от центра до любой из сторон является радиусом вписанной окружности.

1. Возьмите угольник (треугольник с прямым углом).
2. Приложите один из катетов угольника к стороне AB треугольника.
3. Двигайте угольник вдоль стороны AB до тех пор, пока второй катет не пройдет через точку O (центр окружности).
4. Проведите по этому катету отрезок из точки O до пересечения со стороной AB. Точка пересечения (назовем ее $K_1$) является точкой касания. Этот отрезок $OK_1$ — радиус вписанной окружности.
5. Повторите эту процедуру для двух других сторон (BC и AC), чтобы найти точки касания $K_2$ и $K_3$ соответственно.

Ответ: Точки касания $K_1$, $K_2$ и $K_3$ найдены как основания перпендикуляров, проведенных из центра O к сторонам AB, BC и AC с помощью угольника.

3) Впишите в данный треугольник окружность.

Чтобы вписать окружность, нам нужны ее центр и радиус. Центр O мы нашли в пункте 1, а радиус $r$ равен длине любого из перпендикуляров, построенных в пункте 2 (например, $r = |OK_1|$).

1. Возьмите циркуль.
2. Установите иглу циркуля в найденный центр окружности — точку O.
3. Раствор циркуля установите равным расстоянию от точки O до любой из найденных точек касания (например, до точки $K_1$). Это будет радиус вписанной окружности.
4. Начертите окружность. Если все построения были выполнены точно, окружность коснется всех трех сторон треугольника в точках $K_1$, $K_2$ и $K_3$.

Ответ: Окружность с центром в точке O и радиусом $r = |OK_1|$ вписана в треугольник ABC.

612. Постройте треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и радиусу вписанной окружности.