Номер 619, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 619, страница 159.

619. Докажите, что центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.

Дано:
Пусть дан равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AC$. Это означает, что его боковые стороны равны: $AB = BC$.
Пусть $I$ — центр вписанной в $\triangle ABC$ окружности.
Пусть $BH$ — высота, проведённая из вершины $B$ к основанию $AC$ ($BH \perp AC$).

Доказать:
Центр вписанной окружности $I$ принадлежит высоте $BH$.

Доказательство:
1. По определению, центр вписанной в треугольник окружности (также называемый инцентром) является точкой пересечения биссектрис его внутренних углов. Следовательно, точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle A$, угла $\angle C$ и, что ключевое для нашей задачи, на биссектрисе угла $\angle ABC$.
2. Рассмотрим $\triangle ABC$. Так как он равнобедренный с основанием $AC$, то высота $BH$, проведённая к основанию, по свойству равнобедренного треугольника является также его медианой (делит основание $AC$ пополам) и биссектрисой угла при вершине $\angle ABC$.
3. Таким образом, мы имеем два утверждения:
- Точка $I$ лежит на биссектрисе угла $\angle ABC$.
- Высота $BH$ является биссектрисой угла $\angle ABC$.
4. Поскольку и точка $I$, и отрезок $BH$ лежат на одной и той же прямой — биссектрисе угла $\angle ABC$, — то точка $I$ принадлежит отрезку $BH$.
Следовательно, центр вписанной окружности равнобедренного треугольника принадлежит высоте, проведённой к его основанию.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис треугольника. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также и биссектрисой. Так как центр вписанной окружности должен лежать на этой биссектрисе, он, следовательно, лежит и на высоте.

619. Серединный перпендикуляр гипотенузы $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ пересекает катет $BC$ в точке $M$. Известно, что $\angle MAC : \angle MAB = 8 : 5$. Найдите острые углы треугольника $ABC$.