Номер 622, страница 159 - гдз по геометрии 7 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. § 22. Описанная и вписанная окружности треугольника. Глава 4. Окружность и круг. Геометрические построения - номер 622, страница 159.

622. Окружность, вписанная в треугольник $ABC$ (рис. 351), касается его сторон в точках $M, K$ и $E$, $BK = 2$ см, $KC = 4$ см, $AM = 8$ см. Найдите периметр треугольника $ABC$.

Рис. 351

Для решения задачи воспользуемся свойством касательных, проведенных к окружности из одной точки. Согласно этому свойству, отрезки касательных, проведенных из одной вершины к точкам касания, равны.

Рассмотрим вершины треугольника $ABC$:

1. Из вершины $A$ проведены касательные к точкам $M$ и $E$. Следовательно, $AE = AM$. По условию $AM = 8$ см, значит, $AE = 8$ см.

2. Из вершины $B$ проведены касательные к точкам $M$ и $K$. Следовательно, $BM = BK$. По условию $BK = 2$ см, значит, $BM = 2$ см.

3. Из вершины $C$ проведены касательные к точкам $K$ и $E$. Следовательно, $CE = CK$. По условию $KC = 4$ см, значит, $CE = 4$ см.

Теперь мы можем найти длины сторон треугольника $ABC$:

- Сторона $AB$ является суммой отрезков $AM$ и $BM$:
$AB = AM + BM = 8 \text{ см} + 2 \text{ см} = 10 \text{ см}$.

- Сторона $BC$ является суммой отрезков $BK$ и $KC$:
$BC = BK + KC = 2 \text{ см} + 4 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

- Сторона $AC$ является суммой отрезков $AE$ и $CE$:
$AC = AE + CE = 8 \text{ см} + 4 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Периметр треугольника — это сумма длин всех его сторон. Найдем периметр треугольника $ABC$:

$P_{ABC} = AB + BC + AC = 10 \text{ см} + 6 \text{ см} + 12 \text{ см} = 28 \text{ см}$.

Ответ: 28 см.

622. Даны прямая $m$ и точки $A$ и $B$ вне её (рис. 333).

Постройте на прямой $m$ точку, равноудалённую от точек $A$ и $B$.

Рис. 333